Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

90 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Questo è un assurdo poichè Φ2 non contiene vettori nulli, per cui il prodotto scalare di un vettore
di Φ2 per se stesso non potrà mai essere nullo. Lo stesso succede se ∆ ⊂ Φ2. Quindi, se Φ non è
irriducibile, non lo è neanche ∆ : condizione necessaria affinchè ∆ sia irriducibile è che lo sia Φ.
Proviamo ora a dimostrare che questa è anche una condizione sufficiente. Sia Φ irriducibile e ipotizzi-
amo per assurdo che ∆ non lo sia, dunque :
∆ = ∆1 ∪ ∆2
(4.85)
con ∆1 e ∆2 non vuoti, disgiunti e tali che < ∆1, ∆2 > = 0. Per ogni radice α ∈ Φ, esiste un
automorfismo σ di W tale che σ(α) è una radice semplice : diremo allora che α è coniugata ad una
radice semplice. Indichiamo con Φ1 e Φ2 i sottoinsieme di Φ costituiti dalle radici coniugate con
elementi di ∆1 e ∆2 rispettivamente.
Se α e β sono due radici ortogonali e v un generico vettore di E abbiamo :
< v, β > < v, β > < v, α > < v, β >< β, α >
σα(σβ(v)) = σα(v − 2 β) = v − 2 β − 2( − 2 )α = (4.86)
< β, β > < β, β > < α, α > < β, β >< α, α >
< v, β > < v, α >
= v − 2 β − 2
< β, β > < α, α > α
< v, α > < v, α > < v, β > < v, α >< α, β >
σβ(σα(v)) = σβ(v − 2 α) = v − 2 α − 2( − 2 )β = (4.87)
< α, α > < α, α > < β, β > < α, α >< β, β >
< v, α > < v, β >
= v − 2 α − 2
< α, α > < β, β > β
ossia σα e σβ commutano. Se la radice α è coniugata con la radice semplice α ′ ∈ ∆1 tramite l’auto-
morfismo σ allora σ −1 porta α ′ in α. Ma W è generato dalle riflessioni associate alle radici semplici e
quindi σ −1 possiamo scriverlo, per la commutatività detta sopra, mettendo come prime funzioni della
composizione le riflessioni associate a radici di ∆2 (le quali fissano α ′ ) e come ultime tutte le riflessioni
associate a radici di ∆1. Queste, agendo su α ′ , restituiscono una combinazione lineare dei vettori di
∆1. Quindi Φ1 è contenuto nel sottospazio E1 ⊂ E generato da ∆1. Ragionando in modo analogo
deduciamo che Φ2 è contenuto nel sottospazio E2 ⊂ E generato da ∆2. Questo comporta che Φ1 e
Φ2 sono mutuamente ortogonali, dato che < ∆1, ∆2 >= 0. Per l’irriducibilità di Φ non può che essere
Φ1 = 0 oppure Φ2 = 0. Ne consegue ∆1 = 0 o ∆2 = 0 (se, ad esempio, ∆1 non fosse vuoto, allora ogni
automorfismo di W manderebbe i suoi elementi in radici di Φ, e quindi queste radici dovrebbero stare
in Φ1). Questo contraddice le ipotesi fatte e dunque se Φ è irriducibile allora lo è anche ∆.
4.8 La matrice di Cartan
Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo E avente dimensione l, con ∆ base di Φ.
Fissiamo un ordine α1, ..., αl nelle radici semplici e associamo a Φ una matrice quadrata di ordine l.
Essa prende il nome di matrice di Cartan di Φ e, per definizione, ha come elemento di riga i e colonna