Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.3. ESEMPI DI SISTEMI DI RADICI 67
L’insieme considerato è finito in quanto costituito da 4 vettori ; nessuno di questi vettori è nullo
ed inoltre α e β sono indipendenti (ortogonali) per cui A1 × A1 è un sistema di generatori di E. La
condizione R1 risulta quindi dimostrata mentre la R2 è banalmente verificata.
Vediamo ora se viene verificata la condizione R4. Ragruppiamo tutti i calcoli in una tabella :
Tabella 4.1:
(, ) α β −α −β
α 2 0 -2 0
β 0 2 0 -2
−α -2 0 2 0
−β 0 -2 0 2
e dunque viene rispettata la condizione voluta.
Infine le riflessioni : quelle associate ai vettori di A1 × A1 sono solo σα e σβ. Per quanto riguarda σα
si ha :
mentre per σβ abbiamo
σα(β) = β − (β, α)α = β (4.37)
σβ(α) = α − (α, β)β = α (4.38)
per cui entrambe mandano A1 × A1 in sè e dunque anche la condizione R3 risulta soddisfatta.
Il secondo insieme che consideriamo è:
A2 = {α = (l, 0), β = ( l
2 ,
avente la seguente rappresentazione grafica :
√ 3
2
l
l), γ = (−
2 ,
√
3
l), −α, −β, −γ} (4.39)
2