Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

vettori di I e la loro norma soddisfa la condizione richiesta. Dunque abbiamo :
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Φ = {±ɛi | i = 1, 2, . . . , p} ∪ {±ɛi ± ɛj | i = j} (5.32)
Controlliamo se Φ soddisfa le condizioni richiete ad un sistema di radici.
Partiamo dalla condizione R2 e supponiamo che α e un suo multiplo b α appartenengano entrambi a
Φ. Se α ha norma unitaria allora < b α, b α >= b 2 , con b 2 che deve essere uguale ad 1 o a 2. Ma
non può essere uguale a 2 perchè altrimenti avremmo b = ± √ 2 e b α non apparterrebbe a I. Dunque
b 2 = 1 e quindi b = ±1.
Se α ha norma uguale a 2 allora < b α, b α >= 2b 2 , con b 2 che deve essere uguale ad 1 o a 1/2. Ne
segue banalmente che il quadrato di b deve essere unitario se (b = 1/ √ 2 b α non apparterrebbe ad I)
e quindi b = ±1. Viceversa, se α è un elemento di Φ anche il suo opposto lo è in quanto la norma non
cambia e non viene intaccata l’appertenenza ad I : tutti e soli i multipli di α contenuti in Φ sono ±α.
Tutti i vettori di Φ sono non nulli (perchè hanno norma diversa da 0) e sono in numero finito (precisa-
mente sono 2p + 4(p − 1) + 4(p − 2) + · · · + 4 + 0). Che Φ sia un sistema di generatori lo verificheremo
mostrando che esso contiene un base ∆ di E.
Siano α e β due elementi di Φ, vogliamo capire se σα(β) è ancora un elemento di Φ. Ricordando che
σα(β) = β − (β, α)α consideriamo i seguenti diversi casi :
• se α = ±ɛi e β = ±ɛj, con i = j (il caso i = j è banale), allora (β, α) = 0 e dunque β risulta
fissato da σα ;
• se α = ±ɛi e β = ±ɛj ± ɛk possiamo avere i diverso sia da j che da k, e quindi ricadiamo nel
caso precedente, oppure i uguale ad uno fra j e k, supponiamo j. In questo secondo caso ɛi
può comparire in α e β con segno uguale oppure opposto. Che il segno sia uguale o differente
abbiamo σα(β) = ±ɛj ± ɛk ∓ 2ɛj = ±ɛj ∓ ɛj (se hanno lo stesso segno (α, β) è positvo e il meno
che ha davanti cambia il segno di α, se invece il segno è diverso −(α, β) è positivo e quindi il
segno di α non viene cambiato).
• se α = ±ɛi ± ɛj e β = ɛk procediamo in modo simmetrico al punto precedente soltanto che in
questo caso, se k è uguale ad i si ha σα(β) = ±ɛj ±ɛk∓ɛi = ±ɛj, in quanto il fattore moltiplicativo
2 è semplificato dalla norma al quadrato di α
L’ultimo caso è il più complicato e lo si ha per α = ±ɛi±ɛj e β = ±ɛk ±ɛh. Se i, j, k, h sono tutti diversi
β rimane fissato. Se invece i = k (oppure i = h, ma il caso è analogo) e j diverso da h abbiamo due
possibilità. La prima è che ɛi abbia lo stesso segno sia in α che in β, dunque < α, β >= 1. Otteniamo
:
± ɛi ± ɛh− < ±ɛi ± ɛh, ±ɛi ± ɛj > (±ɛi ± ɛj) = ±ɛi ± ɛh ∓ ɛi ± ɛj = ±ɛh ± ɛj
(5.33)