Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

Ma 4(< ɛ, ηi >) 2 sono i fili che collegano ɛ con ηi. Se facciamo la sommatoria al variare di i otteniamo
che tutti i fili uscenti da ɛ sono al più 3.
(5) L’unico grafico Γ connesso che ammette un vertice da cui partono 3 fili è :
ossia il caso G2. Se, infatti, ci fossero altri vertici i primi due non potrebbero essere connessi a
nessuno di essi per il passo 4 e quindi Γ non sarebbe connesso.
(6) Supponiamo che il sottoinsieme {ɛ1, . . . , ɛk} ⊂ U abbia il sotto grafico seguente :
che chiamiamo catena semplice in Γ. Consideriamo il vettore ɛ = k
i=1 ɛi e mostriamo che l’insieme
U ′ = (U \ {ɛ1, . . . , ɛk} ∪ {ɛ} è ammissibile.
Che i vettori di U ′ siano indipendenti segue dal fatto che una combinazione lineare dei vettori di U ′
non è altro che che una combinazione lineare dei vettori di U e quindi i coefficienti devono essere tutti
nulli.
Per i ∈ [1, k − 1] abbiamo che 4(< ɛi, ɛi+1) 2 = 1 e dunque 2(< ɛi, ɛi+1) = −1. Pertanto abbiamo :
< ɛ, ɛ >=<
k
ɛi,
i=1
105
k
ɛj >= k + 2
< ɛi, ɛj >= k − (k − 1) = 1 (5.5)
j=1
dato che i prodotto scalari < ɛi, ɛj > sono non nulli solo per j = i + 1. Dunque anche ɛ è un vettore
unitario. Inoltre il prodotto scalarementedi ɛ per un altro vettore di U ′ è non positivo in quanto
somma di addendi non positivi.
Ogni vettore η ∈ U ′ diverso da ɛ può essere connesso con almeno un filo al più ad uno fra gli ɛ1, . . . , ɛk
perchè altrimenti si formerebbe un ciclo in contraddizione col passo 3. Pertanto si possono avere due
casi:
• < ɛ, η >= 0 se η non è connesso a nessuno degli ɛ1, . . . , ɛk ;
• < ɛ, η >=< ɛi, η > per un i ∈ [i, k].
In entrambi i casi si ha che 4(< ɛ, η) 2 ∈ {0, 1, 2, 3}. Per i vettori di U ′ diversi da ɛ questa proprietà è
ovvia.
Abbiamo quindi verificato U ′ è un sottoinsieme ammissibile ed inoltre il suo grafico Γ ′ si ottiene da Γ
schiacciando la catena semplice su uno dei suoi vertici (infatti quello U ′ si ottiene da U sostituendo
ɛ1, . . . , ɛk con la loro somma ɛ).
i