Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.10. COMPONENTI IRRIDUCIBILI 95
• (α3, α1) = 0
• (α3, α2) = −1
• (α3, α3) = 2
• (α3, α4) = −1
La matrice di Cartan risultante è quindi :
⎛
2
⎜ −1
⎜
⎝ 0
−1
2
−1
0
−2
2
⎞
0
⎟
0 ⎟
−1 ⎟
⎠
0 0 −1 2
Proposizione 4.9.1. Siano Φ e Φ ′ due sistemi di radici negli spazi euclidei, rispettivamente, E ed E ′ .
Se questi due sistemi di radici sono isomorfi allora hanno lo stesso diagramma di Dynkin e viceversa.
4.10 Componenti irriducibili
Abbiamo detto che un sistema di radici Φ, nello spazio euclideo E, si dice irriducibile se non può essere
partizionato in due sottoinsiemi non vuoiti di Φ, aventi intersezione nulla e mutuamente ortogonali
(ogni vettore di un sottoinsieme è ortogonale a tutti i vettori dell’altro insieme). Inoltre, data una
base ∆ di Φ, essa è irriducibile (definizione analoga a quella vista per Φ) se e solo se Φ è irriducibile.
Diremo che il grafico di Coxeter di un sistema di radici è connesso se ogni suo vertice è connesso
(perlomeno con un filo) ad almeno un altro vertice e se non ci sono sottoinsiemi di vertici che non
hanno nessuna connessione con quelli restanti. La stessa definizione possiamo darla per i diagrammi
di Dynkin, ed è ovvio che un grafico di Coxeter di un sistema di radici Φ è connesso se e solo se lo è
il diagramma di Dynkin di Φ.
Facendo uso della topologia, possiamo vedere i vertici di un grafico di Coxeter (diagramma di Dynkin)
come punti di R 2 e i fili che li uniscono come rette : il grafico è connesso se l’insieme dei vertici è
connesso per archi.
Vogliamo dimostrare che una base ∆ del sistema di radici Φ nello spazio euclideo E è irriducibile se e
solo se il diagramma di Dynkin di Φ è connesso.
Partiamo con supporre ∆ irriducibile. Se, per assurdo, esistesse un vertice α non connesso a nessun
altro allora (α, β) = 2 < α, β > / < β, β > sarebbe nullo per ogni altra radice semplice β e quindi
avremmo < α, β > = 0. Dunque potremmo decomporre ∆ in due insiemi : in uno mettiamo solo α e
nell’altro le radici semplici rimanenti. Questi due sottoinsiemi sono non vuoti, con intersezione nulla
e mutuamente ortogonali. Ma questo contraddice l’irriducibilità di ∆. Allo stesso modo, supponiamo