Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

18 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
(L2), a patto che il campo F abbia caratteristica 1 diversa da 2.
Dato un generico vettore x ∈ L consideriamo ϕ(x, x). Per (L2)’ abbiamo ϕ(x, x) = −ϕ(x, x) ossia
ϕ(x, x) + ϕ(x, x) = 2ϕ(x, x) = 0. Se 2 = 0 allora 2 ammette inverso che, moltiplicato ad entrambi i
membri, conduce alla relazione ϕ(x, x) = 0, cioè la condizione (L2).
Risulta utile osservare che in un’algebra di Lie L su un campo F , il commutatore di un elemento
(x, y) ∈ L×L è il vettore nullo se uno dei uno dei suoi argomenti è il vettore nullo (se lo sono entrambi,
per la (L2), è ovvio). Supponendo x = 0 ed y qualsiasi, abbiamo [0, y] = [0 + 0, y] = [0, y] + [0, y] =
2[0, y]. Sottraendo [0, y] ad entrambi i termini otteniamo [0, y] = 0, e quindi [y, 0] = −[0, y] = 0.
Se V è un F -spazio vettoriale, allora End(V ) è un’algebra di Lie con commutatore :
[, ] End(V ) × End(V ) → End(V )
(f, g) ↦→ [f, g] = f ◦ g − g ◦ f
il quale soddisfa le condizioni L1, L2 ed L3 per quanto visto nel primo capitolo.
Questa algebra di Lie prende il nome di algebra lineare generale e la si suole denotare anche col simbolo
gl(V ). Chiamiamo algebra di Lie lineare ogni sottoalgebra di gl(V ).
Lo stesso possiamo dire per lo spazio vettoriale gl(n, F ) costituito dalla matrici quadrate di ordine n
a coefficienti in un campo F . In questo caso il commutatore è :
[, ] gl(n, F ) × gl(n, F ) → gl(n, F )
(A, B) ↦→ [A, B] = A B − B A
Definizione 2.1.1. Siano L, L ′ due algebre di Lie su un campo F . Un’applicazione lineare φ : L → L ′
è detta omomorfismo di algebre di Lie se conserva il commutatore, ossia
φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] ′
dove con [, ] denotiamo il commutatore di L e con [, ] ′ quello di L ′ .
∀x, y ∈ L (2.1)
Un omomorfismo φ di algebre di Lie è detto monomorfismo se iniettivo, epimorfismo se suriettivo,
isomorfismo se bigettivo. Due algebre di Lie L, L ′ su uno stesso campo F si dicono isomorfe se esiste
un isomorfismo di algebre di Lie φ : L → L ′ .
Sottolineiamo che affinchè esista un omomorfismo fra due algebre di Lie L, L ′ esse devono neces-
sariamente essere definite sullo stesso campo F altrimenti non avrebbe senso parlare di applicazione
lineare fra le due.
Gli isomorfismi di spazi vettoriali, End(V ) → gl(n, F ) e sl(V ) → sl(n, F ), visti nel paragrafo 1.3 sono
degli isomorfismi di algebre di Lie.
1 La caratteristica di una campo F , che denotiamo con char(F ), è il più piccolo intero positivo m per il quale m·1 = 0.
Se m non esiste finito, si dice che la caratteristica di F è zero o infinito.