Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

64 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
• il vettore φ(α) è non nullo (in quanto α è una radice, quindi è non nulla, e φ è un isomorfismo
di spazi vettoriali) e si ha φ ◦ σα ◦ φ −1 (φ(α)) = φ(σα(α)) = φ(−α) = −φ(α), cioè viene mandato
da φ ◦ σα ◦ φ −1 nel suo opposto
Allora, per il lemma 4.2.1 segue φ ◦ σα ◦ φ −1 = σ φ(α) : l’immagine di una simmetria di E rispetto ad
una radice di Φ è la simmetria di E ′ rispetto alla radice φ(α) ∈ Φ ′ .
Non abbiamo ancora fatto vedere che l’applicazione considerata manda effettivamente gli elementi di
W in W ′ . Se σ1, σ2 sono due elementi di W abbiamo :
σ1 ◦ σ2 ↦→ φ ◦ σ1 ◦ σ2 ◦ φ −1 = φ ◦ σ1 ◦ φ −1 ◦ φ ◦ σ2 ◦ φ −1 = (φ ◦ σ1 ◦ φ −1 ) ◦ (φ ◦ σ2 ◦ φ −1 ) (4.26)
Un automorfismo di W è composizione di un numero finito di simmetrie di E rispetto a radici di Φ e
quindi la sua immagine è composizione di un numero finito di simmetrie di E ′ rispetto a radici di Φ ′ .
PA questo punto siamo in grado di affermare che l’immagine di un elemento di W è un elemento di
W ′ e l’applicazione considerata è un omomorfismo di gruppi. Essa ammette inversa
W ′ → W
ν ↦→ φ −1 ◦ ν ◦ φ
la quale è ben definita e un omomorfismo di gruppo per osservazioni analoghe a quelle fatte per la
trasformazione “diretta” ed inoltre :
e dunque l’applicazione è un isomorfismo di gruppi.
σ ∈ W ↦→ φ ◦ σ ◦ φ −1 ↦→ φ −1 ◦ φ ◦ σ ◦ φ −1 ◦ φ = σ (4.27)
ν ∈ W ′ ↦→ φ −1 ◦ νφ ↦→ φ ◦ φ −1 ◦ ν ◦ φ ◦ φ −1 = ν (4.28)
Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo E. Ad ogni radice α ∈ Φ associamo quella che
chiamiamo la sua duale :
e consideriamo il duale di Φ :
α v =
Dimostriamo che anche Φ v è un sistema di radici in E.
2α
∈ E (4.29)
< α, α >
Φ v = {α v | α ∈ Φ} (4.30)
La cardinalità di Φ v è la stessa di Φ quindi anche esso è finito ; non contiene il vettore nullo in quanto
tutti gli α ∈ Φ sono non nulli e infine Φ v genera E dato che Φ è un sistema di generatori di E e i
vettori di Φ v sono multipli non nulli di quelli di Φ. La R1 risulta soddisfatta.
Dato che α, −α sono radici di Φ allora α v , (−α v ) sono radici duali e sono gli unici multipli di di α v
contenuti in Φ v (una radice duale è un multiplo di α v se e solo se è la duale di un multiplo di α). La