Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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116 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE quindi l’immagine di β è ancora un elemento di Φ dato che j = h. Se invece gli ɛi di α e β hanno segno opposto, allora < α, β >= −1 ed otteniamo : ∓ ɛi ± ɛh− < ∓ɛi ± ɛh, ±ɛi ± ɛj > (±ɛi ± ɛj) = ∓ɛi ± ɛh ± ɛi ± ɛj = ±ɛh ± ɛj (5.34) ossia l’immagine di β appartiene ancora a Φ. Infine potremmo avere i = k e j = h (il caso i = h e j = k è analogo). Questa volta le possibilità sono 3. La prima è quella nella quale ɛi e ɛj hanno in α e β entrambi lo stesso segno. Si ha < α, β >= 2 e quindi (β, α) = −2, da cui segue che l’immagine di β è −β. La seconda possibilità è che gli ɛi compaiano in α e β con segni uguali e gli ɛj con segni opposti (o viceversa, la situazione è analoga). Allora abbiamo che il prodotto scalare < α, β > è nullo e dunque β viene mandato in se stesso. L’ultima possibilità è che sia ɛi che ɛj compaiano in α e β con segno opposto. Allora (β, α) = 2 e accade quanto visto nella prima possibilità. Dunque abbiamo verficato che σα(β) è ancora un vettore di Φ ed inoltre (β, α) è un intero comunque si scelgano α e β nell’insieme Φ. Consideriamo ora il sottoinsieme ∆ di Φ, costituito dai p vettori ɛ1 − ɛ2, ɛ2 − ɛ3, . . . , ɛp−1 − ɛp, ɛp. Prendiamo una loro combinazione lineare che ci dia il vettore nullo : a1(ɛ1 − ɛ2) + a2(ɛ2 − ɛ3) + · · · + ap−1(ɛp−1 − ɛp) + ap(ɛp) = a1ɛ1 + (a2 − a1)ɛ2 + · · · + (ap−1 − ap−2)ɛp−1 + (ap − ap−1)ɛp = 0 Per l’indipendenza dei vettori ɛ1, . . . , ɛp, tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli. Par- tendo dal primo otteniamo a1 = 0, a2 = 0, . . . , ap−2 = 0, ap−1 = 0, ap = 0. Quindi i vettori di ∆ sono indipendenti ed essi costituiscono una base di E. Come preannunciato, questo mostra che Φ è un sistema di generatori di E : grazie alle caratteristiche di Φ viste sopra possiamo concludere che Φ è un sistema di radici di E. Vogliamo capire se ∆ è una base di Φ. Consideriamo una radice della forma ɛi. Allora abbiamo ɛi = (ɛi − ɛi+1) + · · · + (ɛp−1 − ɛp) + ɛp. Di conseguenza un vettore della forma ɛi + ɛj si scrive ugualmente come somma di elementi della base. Rimangono i vettori della forma ɛi − ɛj. Possiamo supporre, senza ledere la generalità, che i sia minore di j (in caso contrario ne consideriamo l’oposto). Ciò rende evidente che : ɛi − ɛj = (ɛi − ɛi+1) + · · · + (ɛj−1 − ɛj). La radice semplice ɛ1 − ɛ2 è ortogonale a tutti le altre radici di ∆ tranne ɛ2 − ɛ3 e si ha : (ɛ1 − ɛ2, ɛ2 − ɛ3)(ɛ2 − ɛ3, ɛ1 − ɛ2) = 1 (5.35) Il vettore ɛp è ortogonale a tutte le radici semplici tranne ɛp−1 − ɛp e abbiamo : (ɛp, ɛp−1 − ɛp)(ɛp−1 − ɛp, ɛp) = 2 (5.36) Infine la radice semplice ɛi − ɛi+1 (con i = 1) è ortogonale a tutti le altre radici di ∆ tranne ɛi−1 − ɛi e ɛi+i − ɛi+2 per le quali otteniamo : (ɛi−1 − ɛi, ɛi − ɛi+1)(ɛi − ɛi+1, ɛi−1 − ɛi) = 1 (5.37)
117 (ɛi+1 − ɛi+2, ɛi − ɛi+1)(ɛi − ɛi+1, ɛi+1 − ɛi+2) = 1 (5.38) Dato che ɛp è l’unica radice semplice avente norma 1, i calcoli nelle righe precedenti mostrano che il diagramma di Dynkin di Φ è proprio Bp Per p ≥ 3 consideriamo il duale Φ v del sistema di radici Φ. Ci chiediamo se ∆ v è una base di Φ v . Sicuramente i vettori di ∆ v sono una base di E in quanto gli elementi che contiene sono indipendenti (i duali delle radici semplici sono moltiplicati per scalari positivi : 2 diviso la loro norma al quadrato) e in numero uguale alla dimensione di E. Denotiamo con αi, . . . , αp i vettori di ∆ e sia α una radice di Φ. Allora abbiamo α = p i=1 aiαi dove gli ai sono interi tutti non positivi oppure non negativi. Ne consugue che : α v = 2α < α, α > = p 2ai ( < α, α > )αi = i=1 p i=1 ai( < αi, αi > < α, α > )αv i (5.39) I reali sono positivi in quanto rapporto di quantità positive, dunque non modificano il segno degli ai. Quindi abbiamo che i coefficienti ai( ) sono tutti non positivi oppure non negativi. Essi, inoltre, sono interi. Abbiamo dimostrato che ∆ v è una base per Φ v ed inoltre : (α v i , α v j ) = 2(< (α v j , α v i ) = 2(< 2αi < αi, αi > , 2αj < αj, αj > , 2αj < αj, αj > >)/(< 2αi < αi, αi > >)/(< 2αj < αj, αj > , 2αi < αi, αi > , 2αj < αj, αj > >) = 2< αi, αj > = (αj, αi) < αi, αi 2αi < αi, αi > >) = 2< αi, αj > = (αi, αj) < αj, αj e dunque il frafico di Coxeter di Φ v coincide con quello di Φ sono che per per gli ultimi due vertici il verso della freccia è invertito in quanto passando al duale le radici lunghe diventano corte e l’unica corta diventa lunga (la norma di una radice duale è 2 fratto la norma della radice) ed infatti sappiamo anche che (α v i , αv j ) = (αj, αi) e (α v j , αv i ) = (αi, αj). Dunque il diagramma di Dynkin di Φ v è Cp. (Dp) A partire da questo caso eviteremo di entrare nei dettagli, facendo tutti i calcoli come nei casi precedenti. Sia E lo spazio euclideo R p e Φ il sottoinsieme così definito : L’insieme Φ è un sistema di radici in E, avente come base : e come diagramma di Dynkin Dp. Φ = {±ɛi ± ɛj | i = j} (5.40) ∆ = {ɛ1 − ɛ2, ɛ2 − ɛ3, . . . , ɛp−1 − ɛp, ɛp−1 + ɛp} (5.41) (E8, E7, E6) Denotiamo con E lo spazio euclideo R 8 nel quale consideriamo il sottoinsieme : Φ = {±ɛi ± ɛj | i = j} ∪ { 1 2 (±ɛ1 ± · · · ± ɛ7 ± ɛ8)} (5.42)
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
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