Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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16 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE Proposizione 1.4.1. Sia g : V × V → F una forma bilineare sull’ F -spazio vettoriale V . Siano B e B ′ due basi di V e C la matrice di cambiamento di base da B a B ′ . Allora, se S ed S ′ sono le matrici che rappresentano g rispetto a B e B ′ , abbiamo S ′ = B T S B. Proposizione 1.4.2. Sia g : V × V → F una forma bilineare simmetrica sull’ F -spazio vettoriale V . Se S è la matrice che rappresenta g rispetto alla base B di V , abbiamo che g è non degenere se e solo se S è non singolare.
Capitolo 2 Algebre di Lie 2.1 Prime definizioni Sia L uno spazio vettoriale su un campo F . Diremo che L è un’ algebra di Lie su F se in L è definita un’operazione binaria che soddisfa le seguenti condizioni: ϕ : L × L → L (x, y) ↦→ ϕ(x, y) • L1) ϕ è bilineare, ossia ϕ(ax + by, z) = aϕ(x, z) + bϕ(y, z) e ϕ(x, ay + bz) = aϕ(x, y) + bϕ(x, z) qualsiasi siano i vettori x, y, z di L e gli scalari a, b di F • L2) ϕ(x, x) = 0 per ogni vettore x di L • L3) ϕ(x, ϕ(y, z)) + ϕ(y, ϕ(z, x)) + ϕ(z, ϕ(x, y)) = 0 per ogni terna di vettori x, y, z di L Chiamiamo ϕ commutatore, la denotiamo col simbolo [, ] e, di conseguenza, indichiamo con [x, y] l’immagine di un generico elemento del suo dominio ; la condizione (L3) prende il nome di identità di Jacobi. A meno di indicazioni contrarie, nel corso del nostro lavoro considereremo sempre algebre di Lie aventi dimensione finita in qualità di spazi vettoriali. Dalle condizioni (L1) e (L2) segue che il commutatore è antisimmetrico. Infatti, presi due vettori x, y ∈ L, per la (L2) si ha [x+y, x+y] = 0 e dalla bilinearità del commutatore segue 0 = [x+y, x+y] = [x, x + y] + [y, x + y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y]. Riapplicando (L2) otteniamo 0 = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = [x, y] + [y, x] ossia [x, y] = −[y, x]. Denotiamo con (L2)’ questa condizione di antisimmetria. Viceversa, se l’operazione binaria ϕ soddisfa (L2)’ allora non è difficile mostrare che verifica anche 17
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