Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

44 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI
3.5 L-moduli
Consideriamo un’algebra di Lie L su un campo F .
Un F -spazio vettoriale V , dotato di un operazione della forma
L × V → V
si dice L-modulo se soddisfa le condizioni seguenti:
• (M1) (ax + by).v = a(x.v) + b(y.v)
• (M2) x.(av + bw) = a(x.v) + b(x.w)
• (M3) [x, y].v = x.(y.v) − y.(x.v)
per ogni x, y ∈ L ; v, w ∈ V ; a, b ∈ F .
(x, v) ↦→ x.v
Ad ogni L-modulo corrisponde una rappresentazione di L e viceversa.
Sia φ : L → gl(V ) una rappresentazione di L. Allora l’F -spazio vettoriale V puó essere visto come un
L-modulo attraverso l’applicazione :
per la quale si ha:
L × V → V
(x, v) ↦→ (φ(x))(v) = x.v
(ax+by).v = (φ(ax+by))(v) = (aφ(x)+bφ(y))(v) = a(φ(x))(v)+b(φ(y))(v) = a(x.v)+b(y.v) (3.43)
x.(av + bw) = (φ(x))(av + bw) = a(φ(x))(v) + b(φ(x))(w) = a(x.v) + b(x.w) (3.44)
[x, y].v = (φ[x, y])(v) = [φ(x), φ(y)](v) = φ(x)((φ(y))(v)) − φ(y)((φ(x))(v)) = x.(y.v) − y.(x.v) (3.45)
Viceversa, prendiamo un L-modulo V e mostriamo cha ad esso resta associata una raprresentazione
di L. Ad ogni elemento x ∈ L, associamo l’applicazione :
ψ(x) V → V
v ↦→ x.v
Essa é un applicazione lineare per la condizione (M2), dunque un endomorfismo di V . A partire da
questa osservazione consideriamo :
ψ : L → gl(V )
x ↦→ ψ(x)