Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.6. IL GRUPPO DI WEYL 87
Lemma 4.6.3. Date le radici semplici α1, . . . , αt, non necessariamente tutte distinte, denotiamo con
σi la riflessione σαi , al variare di i in {1, . . . , t}. Se la radice
σ1(· · · (σt−1(αt)) · · · )
è negativa allora, per un certo indice 1 ≤ s < t, abbiamo
σ1 ◦ · · · ◦ σt = σ1 ◦ · · · ◦ σs−1 ◦ σs+1 ◦ · · · ◦ σt−1
(ossia l’automorfismo non cambia se gli togliamo σs e σt)
Dimostrazione. Denotiamo con βi la radice (σi+1 ◦ · · · ◦ σt−1)(αt), con i ∈ [0, t − 2], mentre con βt−1
denotiamo αt. Per ipotesi abbiamo β0 ≺ 0 e βt−1 ≻ 0, dato che αt è una radice semplice. Allora ha
senso parlare del più piccolo indice s per il quale βs è una radice positiva (al più avremo s = t − 1).
Ovviamente, per come abbiamo definito s, si ha che σs(βs) = βs−1 è una radice negativa. Dal lemma
precedente segue αs = βs (se così non fosse, βs dovrebbe essere trasformata in una radice positiva).
In generale, per la proposizione 4.2.2, dato un automorfismo σ ∈ W , abbiamo σ σ(α) = σ ◦ σα ◦ σ −1 per
ogni radice α. Nel nostro caso poniamo σ = σs+1 ◦ · · · ◦ σt−1 e α = αt. Ma σ(α) = βs = αs dunque
abbiamo σ σ(α) = σαs = σs e quindi :
σs = σs+1 ◦ · · · σt−1 ◦ σt ◦ σt−1 ◦ · · · ◦ σs+1
in quanto l’inversa di una riflessione è se stessa. Sostituendo l’espressione di σs in
otteniamo :
σ1 ◦ · · · ◦ σs ◦ · · · ◦ σt−1 ◦ σt
σ1 ◦ · · · ◦ σs−1 ◦ σs+1 ◦ · · · σt−1 ◦ σt ◦ σt−1 ◦ · · · ◦ σs+1 ◦ σs+1 ◦ · · · ◦ σt−1 ◦ σt
la quale, effettuando le semplificazioni, ci conduce al risultato che volevamo dimostrare.
(4.83)
Corollario 4.6.4. Sia σ un automorfismo di W composizione di riflessioni associate a radici semplici
σ = σ1 ◦ · · · ◦ σt
(4.84)
dove t è il più piccolo possibile e σi indica la riflessione rispetto alla radice semplice αi. Allora σ(αt)
è una radice negativa
Dimostrazione. Se per assurdo σ(αt) fosse una radice positiva, allora σ1(· · · (σt−1(σt(αt))) · · · ) =
−σ1(· · · (σt−1(αt)) · · · ) e quindi σ1(· · · (σt−1(αt)) · · · ) dovrebbere essere negativa. Potremmo allora
applicare il lemma precedente, contraddicendo la minimalità di t.