Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

Siano θ1, θ2, θ3 gli angoli fra ψ e ɛ,η e ν rispettivamente.
Con un ragionamento analogo a quello fatto nel passo 4 si ricava :
111
cos 2 (θ1) + cos 2 (θ2) + cos 2 (θ3) < 1 (5.17)
Inoltre per calcolare la norma al quarato di ɛ,η e ν possiamo applicare quanto visto nel passo precedente
ottenendo :
< ɛ, ɛ >=
r(r − 1)
2
; < η, η >=
q(q − 1)
2
; < ν, ν >=
s(s − 1)
2
(5.18)
Dato che ψ ha norma unitaria e non è ortogonale solo a ɛr−1, ηq−1, νs−1 (e con ognuno di questi è
legato con un solo filo) ricaviamo le relazioni :
cos 2 (θ1) =
cos 2 (θ2) =
cos 2 (θ3) =
(< ψ, ɛ >)2
ψ 2 ɛ 2 = (r − 1)2 (< ɛr−1, ψ >) 2
ɛ 2 (< ψ, η >)2
ψ 2 η 2 = (q − 1)2 (< ηq−1, ψ >) 2
η 2 (< ψ, ν >)2
ψ 2 ν 2 = (s − 1)2 (< νs−1, ψ >) 2
ν 2 Sostituendo quanto ottenuto ricaviamo la condizione :
cos 2 (θ1) + cos 2 (θ2) + cos 2 (θ3) < 1 ⇔
1 1 1
(3 − −
2 r q
= 1 2(r − 1)
4
2
r(r − 1
= 1 2(q − 1)
4
2
q(q − 1
= 1 2(s − 1)
4
2
s(s − 1
1
− ) < 1 ⇔
s
= r − 1
2r
= q − 1
2q
= s − 1
2s
1 1 1
+ + > 1
r q s
A meno di cambiare le lettere, possiamo supporre 1/r ≤ 1/q ≤ 1/s. Inoltre r, q, s li consideriamo
maggiori di 1 in quanto se uno di essi fosse uguale unitario ricadremmo nel grafico (i), dunque 1/r ≤
1/q ≤ 1/s ≤ 1/2 essendo 2 il valore più piccolo che può assumere s. La prima condizione che ricaviamo
è su s:
1 1 1 1 1 1
+ + ≥ + + > 1 ⇔
2 2 2 r q s
3 1 1 1 3
≥ + + = > 1 (5.19)
2 s s s s
La disuguaglianza a destra implica s < 3 e quella a sinistra s ≥ 2 dunque non può che essere s = 2.
Sostituendo il valore di s otteniamo una nuova condizione che coinvolge solo r e q :
1 1 1
+ + > 1 ;
r q 2
1 1 1
+ >
r q 2
Ragionando come prima si è fatto per s otteniamo la condizione su q :
1 1 1 1 1
+ ≥ + >
2 2 r q 2
⇔ 1 ≥ 2
q
> 1
2
(5.20)
(5.21)
da cui si rivava 2 ≤ q < 4. Se q = 2 allora r può essere arbitrario (in quanto 1/q + 1/s = 1 e quindi
qualsiasi sia il valore di r abbiamo 1/r + 1/q + 1/s > 1) e in questo caso Γ coincide con Dp. Se q = 3
invece per r abbiamo la condizione :
1
r
1 1 1
> 1 − − =
2 3 6
⇔ r < 6 (5.22)