Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

14 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE
proprio n 2 − 1.
Prendiamo tutte le matrici eij con i = j insieme con:
hi = eii − ei+1,i+1 (1 ≤ i ≤ n − 1) (1.47)
Tutte queste matrici hanno traccia nulla e sono esattamente n 2 − 1.
Vorremmo far vedere che esse sono indipendenti, dunque costituiscono una base di sl(n, F ) che chi-
ameremo base standard di sl(n, F ). Prendiamo una combinazione lineare delle matrici dette che ci
dia la matrice nulla:
Pertanto si ha :
i=j
αij eij +
• αij = 0 ∀i, j con i = j
n
βi hi =
i=1
i=j
αij eij +
• β1 = 0 (solo h1 ha un elemento non nullo nella posizione (1, 1))
• β2
• .
• βn−1 = 0
n
i=1
βi(eii − ei+1,ei+1 ) = 0 (1.48)
(grazie al punto precedente solo h2 ha un elemento non nullo nella posizione (2, 2))
1.4 Forme bilineari
Sia V uno spazio vettoriale sul campo F . Una forma bilineare su V è un’applicazione g : V × V → F
tale che :
per ogni v, w, z ∈ V e a, b ∈ F .
g(av + bw, z) = ag(v, z) + bg(w, z) (1.49)
g(v, aw + bz) = ag(v, w) + bg(v, z) (1.50)
Se g(v, w) = g(w, v) per ogni coppia di vettori v, w ∈ V diremo che g è una forma bilineare simmetrica,
antissimentrica se g(v, w) = −g(w, v) ∀v, w ∈ V .
Se g è simmetrica, possiamo definirne il nucleo :
V ⊥ = {v ∈ V | g(v, w) = 0 ∀w ∈ V } (1.51)
Esso è un sottospazio vettoriale di V. Infatti, se v1, v2 sono due elementi del nucleo e a è uno scalare
di F , abbiamo :
g(v1 + v2, w) = g(v1, w) + g(v2, w) = 0 + 0 = 0 (1.52)