Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.8. LA MATRICE DI CARTAN 91
j l’intero (αi, αj). Dato che le entrate della matrice di Cartan sono degli interi, esse prendono il nome
di interi di Cartan di Φ.
Ovviamente la matrice di Cartan dipende dalla scelta della base e dall’ordine fissato in essa.
Se ∆ ′ è un’altra base di Φ allora esiste un unico automorfismo σ ∈ W tale che σ(∆) = ∆ ′ . Ricordando
che gli elementi di W conservano il prodotto scalare, se numeriamo le radici di ∆ ′ secondo l’ordine
fissato in ∆, ossia α ′ 1 = σ(α1), ..., α ′ l = σ(αl) allora abbiamo:
(σ ′ i, σ ′ j) = (σ(αi), σ(αj)) = 2 < σ(αi), σ(αj) >
< σ(αj), σ(αj) > = 2 < αi, αj >
< αj, αj > = (αi, αj) (4.88)
e dunque la matrice di Cartan associata alle due basi è la stessa.
La matrice di Cartan è non singolare : se vogliamo calcolarne il determinante possiamo osservare che
dalla colonna j-esima possiamo mettere in evidenza 2/ < αj, αj > il quale è, per ogni αj un fattore
positivo, in quanto il prodotto scalare è definito positivo. Quindi il determinante della matrice di
Cartan concide, a meno di un fattore non nullo (ossia il prodotto, al variare delle radici semplici αj,
di 2/ < αj, αj >), con il determinante della matrice associata al prodotto scalare di E rispetto a ∆.
Questo determinante è non nullo in quanto il prodotto scalare è una forma bilineare non degenere.
Calcoliamo ora le matrici di Cartan associate ai sistemi di radici A1×Ai, A2, B2 e G2 visti nel paragrafo
4.3 : la base che consideriamo per ognuno è quella vista in conclusione dello stesso paragrafo. Ponendo
sempre α come prima radice, utilizziamo le tabelle viste per ogni singolo esempio per dedurre :
⎛ ⎞
2 0
A1 × A1 = ⎝ ⎠
0 2
⎛ ⎞
2 −1
A2 = ⎝ ⎠
−1 2
⎛ ⎞
2 −1
B2 = ⎝ ⎠
−2 2
⎛ ⎞
2 −1
G2 = ⎝ ⎠
−3 2