Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

32 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI
Dimostrazione. Ad x possiamo associare due endomorfismi di V :
λx : End(V ) → End(V )
y ↦→ λx(y) = x ◦ y
ρx : End(V ) → End(V )
y ↦→ ρx(y) = y ◦ x
che chiamiamo, rispettivamente, traslazione a sinistra e traslazione a destra. Esse risultano ben definite
in quanto la composizione di elementi di End(V ) è ancora un endomorfismo di V . Sia λx che ρx sono
applicazioni lineari (ma non omomorfismi di algebre di Lie). Dati y, z ∈ End(V ) e lo scalare a ∈ F
abbiamo :
λx(ay) = x ◦ ay = (x ◦ ay) = (a · (x ◦ y)) = aλx(y) (3.8)
λx(y + z) = x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z = λx(y) + λx(z) (3.9)
In maniera analoga si dimostra la linearità di ρx.
Per ipotesi x è un endomorfismo nilpotente quindi possiamo supporre che k sia il suo indice di
nilpotenza. Allora :
λ k x(y) = x k ◦ y = 0 ◦ y = 0 ∀y ∈ End(V ) (3.10)
ρ k x(y) = y ◦ x k = y ◦ 0 = 0 ∀y ∈ End(V ) (3.11)
ossia anche le traslazioni a destra e a sinistra sono nilpotenti. Dato che esse commutano :
λx(ρx(y)) = x ◦ (y ◦ x) ; ρx(λx(y)) = (x ◦ y) ◦ x ∀y ∈ End(V ) (3.12)
anche una loro combinazione lineare è nilpotente.
Ne consegue che λx − ρx = ad x è nilpotente.
Teorema 3.2.2. Sia L una sottoalgebra di Lie di End(V ), con V spazio vettoriale di dimensione
finita. Se gli endomorfismi di L sono nilpotenti e V = 0, esiste un vettore non nullo v ∈ V che viene
mandato in 0 da ogni endomorfismo di L.
Teorema (di Engel) 3.2.3. Se tutti gli elementi di un’algebra di Lie L sono ad-nilpotenti allora L è
nilpotente.
Dimostrazione. Procediamo per induzione sulla dimensione di L.
Se dim(L) = 0, allora ad(L) contiene solo l’endomorfismo nullo e quindi è banale osservare che gli
elementi di L sono ad-nilpotenti. In questo caso L è ovviamente nilpotente.
Supponiamo ora che L abbia dimensione k. Per ipotesi, ad(L) è una sottoalgebra di End(L) costituita
da endomorfismi nilpotenti. Per il teorema precedente esiste un vettore non nullo x ∈ L che viene
mandato in 0 da tutti gli elementi di ad(L), ossia [L, x] = 0 e dunque x ∈ Z(L). Dato che Z(L) non