Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

48 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI
Due endomorfismi diagonalizzabili che commutano possono essere diagonalizzati simultaneamente.
Dato che tutti gli endomorfismi di adL H commutano e sono diagonazziabili, essi possono essere diag-
onalizzati simultaneamente.
Al variare di α in H ∗ (duale di H) consideriamo i sottoinsiemi :
Lα = {x ∈ L | [h, x] = α(h)x ∀h ∈ H} (3.54)
Essi sono sottospazi vettoriali di L. Prendendo due vettori x, y ∈ Lα e uno scalare a ∈ F otteniamo :
• [h, ax] = a[h, x] = a(α(h)x) = α(h)(ax) ∀h ∈ H ⇒ ax ∈ Lα
• [h, x + y] = [h, x] + [h, y] = α(h)x + α(h)y = α(h)(x + y) ∀h ∈ H ⇒ x + y ∈ Lα
Inoltre, se α e β sono due forme lineari differenti, ossia α, β ∈ H ∗ e α = β, l’intersezione di Lα e Lβ
é costituita dal solo vettore nullo. Supponiamo che x sia un elemento appartenente all’intersezione,
allora :
[h, x] = α(h)x = β(h)x ∀h ∈ H ⇒ (3.55)
α(h)x − β(h)x = 0 ∀h ∈ H ⇒ (α(h) − β(h))x = 0 ∀h ∈ H
Ne consegue x = 0 perché, se cosí non fosse, si dovrebbe avere α(h) − β(h) = 0 per ogni h ∈ H, e
quindi α = β contro l’ipotesi fatta.
La somma di un numero finito di questi sottospazi é dunque una somma diretta. Di conseguenza che
il numero degli Lα non nulli é finito, dato che L ha dimensione finita (se i sottospazi Lα non nulli
fossero infiniti potremmo sommarli fino a superare la dimensione di L).
Supponiamo che la dimensione di L sia n. Dato che gli endomorfismi di adL H sono tutti simultanea-
mente digonalizzabili, esiste almeno una base {e1, . . . , en} di L i cui vettori sono autovettori per ogni
endomorfismo di adL H. Prendiamo un vettore di base ei e denotiamo con γ(h) il suo autovalore
rispetto all’endomorfismo adL h. Al variare di h in H otteniamo un’applicazione γ da H in F che é
un’applicazione lineare :
[h+k, ei] = [h, ei]+[k, ei] = γ(h)ei+γ(k)ei = (γ(h)+γ(k))ei ⇒ γ(h+k) = γ(h)+γ(k) ∀h, k ∈ H
[ah, ei] = a[h, ei] = (aγ(h))ei ⇒ γ(ah) = aγ(h) ∀h ∈ H, a ∈ F
Dunque ogni ei, con i ∈ {1, . . . , n}, appartiene ad un Lα : la somma diretta dei sottospazi Lα non nulli
coincide con L (per quanto detto sui vettori ei la somma diretta ha dimensione maggiore o uguale ad
n, ma non puó essere maggiore di n).
Se α é la forma lineare nulla abbiamo:
Lα = L0 = {x ∈ L | [h, x] = α(h)x = 0 ∀h ∈ H} = CLH (3.56)