Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

78 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
• (B1) ∆ è una base di E
• (B2) ogni radice di Φ ha, rispetto a ∆, componenti intere tutte non positive o tutte non negative
Le radici appartenenti alla base ∆ sono dette semplici.
Osserviamo che la cardinalità di una base di Φ coincide con la dimensione dello spazio euclideo E e
che non è detto che un sistema di radici ammetta sempre una base (esiste almeno un sottoinsieme di
radici che soddisfa B1 ma non necessariamente anche B2).
Nel pargrafo 4.3, per ognuno dei sistemi di radici analizzati (escluso quello nello spazio euclideo unidi-
mensionale), abbiamo fissato due radici che costituivano una base dello spazio euclideo. Esse soddisfano
inoltre la condizione B2 e dunque sono una base dei sistemi di radici visti.
Lemma 4.5.1. Sia ∆ una base di un sistema di radici Φ in uno spazio euclideo E. Allora < α, β > ≤ 0
per ogni coppia di radici semplici distinte. Inoltre α − β non è una radice.
Dimostrazione. Supponiamo che < α, β > sia strettamente positivo. Ovviamente α = ±β ( per
l’indipendenza dei vettori di base). Per quanto visto nella proposizone 4.4.1 α − β è una radice.
Avremmo cosí una radice che ha come componenti rispetto a ∆ sia 1 che −1, contraddicendo la
condizione (B2). Questo assurdo dimostra entrambe le affermazioni del lemma.
Fissiamo uno spazio euclideo E, un sistema di radici Φ in E e una sua base ∆.
Definiamo l’altezza di una radice β ∈ Φ rispetto a ∆, e la denotiamo col simbolo ht(β), nel modo
seguente :
ht(β) =
α∈∆
kα
(4.66)
con le kα componenti di β rispetto alla base. Se tutte le kα sono non negative chiamiamo β positiva e
scriviamo β ≻ 0 ; se tutte le kα sono non positive chiamiamo β negativa e scriviamo β ≺ 0. Si deduce
facilmente che le radici semplici sono postive con altezza 1.
Denotiamo con Φ + l’insieme delle radici positive, con Φ − quello delle radici negative.
Per la R2 sappiamo che il sistema di radici Φ è della forma Φ = {±βi | i ∈ I}. Pertanto, se una radice
è positiva, la sua opposta è negativa ed in particolare si ha Φ − = −Φ + . Osserviamo che se α e β sono
due radici positive ed anche α + β è una radice, pure essa è positiva.
Con quanto fin qui introdotto possiamo definire una relazione d’ordine su E.
Dati due elementi λ, µ di E scriviamo µ ≺ λ se λ = µ oppure λ − µ è somma di radici positive.
Abbiamo definito una relazione binaria su E che è sicuramente riflessiva. Essa è pure simmetrica : se
µ ≺ λ e λ ≺ µ ma supponiamo, per assurdo, λ = mu, allora µ − λ e λ − µ si scrivono come somme di
radici positive. Ma questi due vettori sono uno l’opposto dell’altro e l’opposto di una radice positiva
abbiamo visto essere negativa. Dunque non può che essere µ = λ. Infine la transitività : se µ ≺ λ e