Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.10. COMPONENTI IRRIDUCIBILI 97
β ∈ Ei e gli associa :
β − (β, α)(α, α)α ∈ Ei
(4.91)
e dunque è semplicemente la restrizione ad Ei di σα Allora se anche β appartiene a Φi, abbiamo che
σ ′ α(β) è una radice di Φ appartenente ad Ei, dunque contenuta in Φi. Perciò Φi soddisfa anche le
condizioni R2 e R4. Possiamo allora concludere che esso è un sistema di radici di Ei.
Il gruppo di Weyl di Φi, che denotiamo con Wi, è costituito dalle restrizioni ad Ei degli automorfismi
di W generati dalle riflessioni associate ad elementi di Φi.
Ogni elemento σ ∈ W manda Ei in sè stesso. Ci basta dimostrare che quanto detto è verificato per
le riflessioni associate alle radici semplici di Φ, dato che esse generano W . Sia β una radice semplice
e α un vettori di ∆i. Se β ∈ ∆i è ovvio che σβ(α) è contenuto in Ei e quindi che σβ manda Ei in se
stesso. Se invece β non appartiene a ∆i allora abbiamo :
ossia σβ ristretta a Ei è l’identità.
σβ(α) = α − (α, β)β = α (4.92)
Quanto appena dimostrato fa si che le riflessioni associate ad ogni radice di Φ mandino Ei in Ei al
variare di i in {1, . . . , t}. Per concludere il ragionamento ci è utile il seguente risultato generale : se
E ′ è un sottospazio dello spazio euclideo E e la riflessione σα (con α elemento non nullo di E) manda
E ′ in E ′ allora α ∈ E ′ oppure E ′ ⊂ Pα. Infatti, dato β ∈ E ′ abbiamo :
σα(β) = β − (β, α)α = γ ∈ E ′
⇒ β − γ = (β, α)α ∈ E ′
(4.93)
Allora possiamo avere α ∈ E ′ mentre,se α non è un vettore di E ′ , (β, α)α deve necessariamente essere
il vettore nullo e quindi, dato che β lo abbiamo scelto in modo arbitrario, abbiamo (β, α) = 0 per ogni
β ∈ E ′ da cui consegue E ′ ⊂ Pα.
Se α è una radice di Φ, dato che σα(Ei) = Ei per ogni i ∈ {1, . . . , t} e non tutti gli Ei possono essere
contenuti in Pα (altrimenti avremmo l’assurdo E ⊂ Pα), α deve essere contenuta in uno degli Ei.
Dunque possiamo concludere che Φ = Φ1 ∪ Φ2 ∪ · · · ∪ Φt.