Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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62 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI quanto tutti i vettori dell’elenco appartengono a Φ. Se supponiamo che τ i (β) = τ l (β) con l di fra le radici che si ripetono c’è anche β. Denotiamo con kβ il più piccolo indice tale che τ kβ(β) = β. Scegliamo un k abbastanza grande tale che τ k fissi ogni β ∈ Φ (prendiamo il minimo comune multiplo deii kβ). Dato che Φ genera E, allora τ k = idE e dunque il polinomio minimo di τ divide T k − 1 (in quanto τ k − idE = 0 e il polinomio minimo di τ divide tutti i polinomo p(T ) ∈ R[T ] tali che p(τ) = 0). Abbiamo ottenuto che pτ divide sia T k − 1 che (T − 1) l e quindi pτ = T − 1, in quanto stiamo ovviamente considerando dim(V ) = 0 e quindi il polinomio minimo di τ non può essere di grado 0 (T k − 1 ha come 1 unica radice reale, le altre sono complesse in quanto radici dell’unità mentre pτ ha solo 1 come radice : gli unici fattori comuni sono 1 e T − 1). Per definizione di polinomio minimo abbiamo τ − idE = 0, ossia τ = σ ◦ σα = idE e quindi σ = σα in quanto abbiamo visto che σα = σ −1 α . Ma σα fissa un unico iperpiano Pα per cui P = Pα. Infatti, se σα fissasse un secondo iperpiano, distinto da Pα, dovrebbe esistere almeno un vettore non nullo β di tale iperpiano che non appartiene a Pα. Allora la somma dei sottospazi Pα ⊕ Rα ⊕ Rβ sarebbe diretta, eccedendo la dimensione di E. Proposizione 4.2.2. Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo E, con gruppo di Weyl W . Se σ è un automorfismo di E che lascia invariato Φ, allora: • i) σ ◦ σα ◦ σ −1 = σ σ(α) ∀α ∈ Φ • ii)(β, α) = (σ(β), σ(α)) ∀α, β ∈ Φ Dimostrazione. Dato che σ è un auotomorfismo di E, σ(Pα) è un iperpiano (σ |Pα Inoltre, se γ ∈ σ(Pα) si ha : è un isomorfismo). γ = σ(β) con β ∈ Pα (4.20) σ ◦ σα ◦ σ −1 (γ) = σ(σα(σ −1 (σ(β)))) = σ(σα(β)) = σ(β) (4.21) ossia dal fatto che σα fissa i punti di Pα segue che σ ◦ σα ◦ σ −1 fissa i punti di σ(Pα). Inoltre σ(σα(σ −1 (σ(α)))) = σ(σα(α)) = σ(−α) = −σ(α). Dunque di σ ◦ σα ◦ σ −1 sappiamo che : • lascia invariato Φ in quanto ognuna delle funzioni componenti lascia Φ invariato • fissa i punti dell’iperpiano σ(Pα) • manda la radice σ(α) = 0 (poichè α = 0 e σ è iniettiva) nel suo opposto Per il lemma precedente segue che σ ◦ σα ◦ σ −1 = σ σ(α) e σ(Pα) = P σ(α). Sia poi β un’altra generica radice di Φ. Allora : σ ◦ σα ◦ σ −1 (σ(β)) = σ ◦ σα(β) = σ(β) − (β, α)σ(α) (4.22)
4.2. SISTEMI DI RADICI 63 σ ◦ σα ◦ σ −1 (σ(β)) = σ σ(α)(σ(β)) = σ(β) − (σ(β), σ(α))σ(α) (4.23) Dall’uguaglianza di queste due quantità si ricava : σ(β) − (β, α)σ(α) = σ(β) − (σ(β), σ(α))σ(α) ⇒ ((σ(β), σ(α)) − (β, α))σ(α) = 0 ⇒ (4.24) Ma σ(α) è un vettore non nullo per cui concludiamo : (σ(β), σ(α)) − (β, α) = 0 ⇒ (σ(β), σ(α)) = (β, α) (4.25) Definizione 4.2.3. Siano Φ, Φ ′ due sistemi di radici negli spazi euclidei E, E ′ rispettivamente. Diremo che (Φ, E) e (Φ ′ , E ′ ) sono isomorfi se esiste un isomorfismo φ : E → E ′ di spazio vettoriali (non necessariamente un’isometria) che manda Φ in Φ ′ (quindi i due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione e i due sistemi di radici devono avere la stessa cardinalità) e tale che (φ(β), φ(α)) = (β, α) per ogni coppia di radici α, β di Φ. Consideriamo due sistemi di radici Φ, Φ ′ (negli spazi euclidei E, E ′ , rispettivamente) isomorfi mediante l’isomorfismo φ. Date le radici α, β ∈ Φ abbiamo : σ φ(α)(φ(β)) = φ(β) − (φ(β), φ(α))φ(α) = φ(β) − (β, α)φ(α) = φ(β − (β, α)φ(α)) = φ(σα(β)) Inoltre esiste un isomorfismo naturale fra gruppi di Weyl : W → W ′ σ ↦→ φ ◦ σ ◦ φ −1 La prima cosa da verificare è che φ ◦ σ ◦ φ −1 sia effettivamente un elemento di W ′ . Cominciamo con l’osservare che la composizione di isomorfismi è ancora un isomorfismo, quindi φ ◦ σ ◦ φ −1 è un isomorfismo da E ′ in E ′ , perciò è un automorfismo di E ′ . Prendiamo poi una riflessione σα rispetto ad una radice α ∈ Φ. La sua immagine soddisfa le condizioni seguenti : • sia γ una radice di Φ ′ , per la defizione di φ esiste β ∈ Φ tale che φ(β) = γ. Allora abbiamo che : φ ◦ σα ◦ φ −1 (γ) = φ ◦ σα ◦ φ −1 (φ(β)) = φ(σα(β)) ∈ Φ ′ in quanto σα(β) ∈ Φ per la R3 ; • φ(Pα) è un iperpiano di E ′ in quanto φ |Pα è ancora un isomorfismo di spazi vettoriali e dim(E) = dim(E ′ ). Sia x un vettore di tale iperpiano, allora x = φ(y) con y ∈ Pα e quindi si ha: φ ◦ σα ◦ φ −1 (x) = φ ◦ σα ◦ φ −1 (φ(y)) = φ(σα(y)) = φ(y) = x ossia φ ◦ σα ◦ φ −1 lascia fissi i punti dell’iperpiano φ(Pα)
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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122 BIBLIOGRAFIA
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