Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

88 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Teorema 4.6.5. Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo E e ∆ una sua base. Allora:
• a) se γ è un vettore regolare di E esiste σ ∈ W tale che < σ(γ), α > è strettamente positivo per
ogni radice semplice α ∈ ∆ (l’azione di W sulle camere di Weyl è transitiva);
• b) se ∆ ′ è un’altra base di Φ, allora σ(∆ ′ ) = ∆ per un certo elemento σ di W (l’azione di W
sulle basi di Φ è transitiva);
• c) se α è una radice di Φ esiste σ ∈ W tale che σ(α) ∈ ∆;
• e) W è generato dalle riflessioni σα associate alle radici semplici α ∈ ∆;
• f) se per σ ∈ W si ha σ(∆) = ∆, allora σ = idE (W agisce in modo semplicemente transitivo
sulle basi).
Dimostrazione. Denotiamo con W ′ il sottogruppo di W generato dalle riflessioni σα associate alle
radici semplici α ∈ ∆. Proviamo le prime tre implicazioni per W ′ e poi, dimostrando il quarto punto,
deduciamo W ′ = W .
(a) Sia δ il vettore 1
2
α≻0 α. Scegliamo σ ∈ W ′ tale che < σ(γ), δ > sia il più grande possibile (la
possibilità di effettuare una tale scelta è assicurata dalla finitezza del gruppo di Weyl).
Se α è un radice semplice allora è ovvio che σα ◦ σ è ancora un elemento di W ′ . Per come abbiamo
definito σ, per il fatto che σα conserva il prodotto scalare e ha come inversa essa stessa e per il
Corollario 4.6.2 possiamo dedurre :
< σ(γ), δ > ≥ < σα(σ(δ)), γ > = < σ(γ), σα(δ) > = < σ(γ), δ − α > = < σ(γ), δ > − < σ(γ), α >
Questo impone < σ(γ), α > non negativo per ogni radice semplice α (la radice semplice la avevamo
scelta in modo arbitrario).
L’inversa di σ la si ottiene invertendo l’ordine delle riflessioni (associate a radici semplici) che la
compongono. Dunque σ −1 conserva il prodotto scalare e manda Φ in Φ. Se, per assurdo, avessimo
< σ(γ), α >= 0 per una qualche radice semplice α, allora avremmo < σ −1 (σ(γ)), σ −1 (α) > = <
γ, σ −1 (α) >= 0, che cotraddirebbe la regolarità di γ. Possiamo allora dedurre che σ(γ) appartiene
alla camera di Weyl fondamentale Υ(∆), dunque σ(Υ(γ)) = Υ(∆). Se Υ1 e Υ2 sono due differenti
camere di Weyl, esistono σ1 e σ2 appartenenti a W ′ che mandano Υ1 e Υ2 in Υ(∆). Dunque σ −1
1 ◦ σ2
e σ −1
2 ◦ σ1 fanno passare da Υ2 a Υ1 e viceversa. Ricordando come si era definita l’azione di W sulle
camere di Weyl, da quanto detto segue la transitività dell’azione.
(b) Siano ∆1 e ∆2 due diverse basi di Φ. Essendo f la bigezione fra camere di Weyl e basi, esistono
due camere di Weyl differenti, Υ1 e Υ2, tali che f(Υ1) = ∆1 e f(Υ2) = ∆2. Il punto precedente ci
dice che esiste un automorfismo σ ∈ W ′ che agisce sulle camere di Weyl mandando Υ1 in Υ2. Dato
che f è W -equivariante deduciamo che l’azione di σ sulle basi manda ∆1 in ∆2.