Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

3.6. SOTTOALGEBRE TOROIDALI E DECOMPOSIZIONE DI CARTAN 51
mentre il passo 2 ci dice che xs appartiene ad H. Dunque k(h, x) = k(h, xs+xn) = k(h, xs)+k(h, xn) =
0+0 = 0. Ne consegue k(h, C) = 0. Ma k ristretta a C é non degenere e quindi, essendo h un elemento
di C, si ottiene h = 0.
(4) In questo passo verificheremo che C é nilpotente.
Se x ∈ C é semisemplice, per il passo 2 sappiamo che esso é contenuto in H ed inoltre :
adC x = 0 (3.66)
dunque x é nilpotente. Viceversa, se il vettore x ∈ C é nilpotente allora adL x é nilpotente e dunque
pure adC x lo é. Infatti adC x é la restrizione a C di adL x il quale manda C in se (dato che C é una
sottoalgebra di L) e quindi :
(adL x) k = 0 ⇒ (adC x) k = (adL x |C) k = 0 (3.67)
Sia poi x un arbitrario vettore di C, allora la sua decomposizione di Jordan astratta é x = xs + xn.
Per il passo 1 sia xs che xn appartengono a C e dunque :
adC x = adC xs + adC xn ; [adC xs, adC xn] = adC [xs, xn] = 0 (3.68)
in quanto [xs, xc] = 0 poiché xs sta in H.
La somma di endomorfismi nilpotenti che commutano é ancora nilpotente. Per il teorema di Engel, C
é nilpotente.
Precisiamo che gli elementi di C sono adC-nilpotenti, non é detto siano adL-nilpotenti.
(5) Mostriamo che H ∩ [C, C] = {0}. Sappiamo che [H, C] = 0 ed inoltre, per l’associtivitá della forma
di Killing k si ha :
k(H, [C, C]) = k([H, C], C) = 0 (3.69)
Allora, se h ∈ H ∪ [C, C], dall’ultima relazione segue k(H, h) = 0. Per il passo 3 deduciamo h = 0.
(6) Verifichiamo che C é abeliana.
Supponiamo per assurdo che C non sia abeliana, dunque [C, C] = 0. Nel punto 4 abbiamo visto che
C é nilpotente e quindi, applicando il Lemma 4.5.4 si ha Z(C) ∩ [C, C] = 0. Sia z un elemento non
nullo dell’intersezione : esso non puó essere semisemplice altrimenti apparterrebbe ad H (passo 2)
mentre per il passo precedente sappiamo H ∩ [C, C] = {0}. Allora la parte nilpotente di z é non
nulla, appartiene a C e quindi a Z(C). Se x é un generico elemento di C si ha [x, n] = 0, perció
ad([x, n]) = [ad x, ad n] = 0. Dunque ad x e ad n commutano : dato che ad n é nilpotente anche
ad x ◦ ad n lo é. Quindi tr(ad x ◦ ad n) = 0 = k(x, n). Per l’arbitrarietá di x segue k(n, C) = 0, che
contraddice la Proposizione 3.6.2.
(7) Concludiamo supponendo per assurdo che C sia diverso da H, e quindi C non sia contenuto in
H (in quanto H ⊆ C). Questo implica, per il passo 2, che non tutti gli elementi di C possono essere