Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.3. ESEMPI DI SISTEMI DI RADICI 69
per cui tutte e tre mandano A2 in sè, dunque anche la condizione R3 risulta verificata.
Il terzo insieme che analizziamo lo denotiamo con B2 ed è definito come :
B2 = {α = (l, 0), β = (l, l), γ = (0, l), δ = (−l, l), −α, −β, −γ, −δ} (4.40)
e possiamo rappresentarlo graficamente nel modo seguente
Anche per questo terzo insieme non è difficile verificare la condizione R1 : esso ha 8 vettori, nessuno
di questi è nullo, i vettori α e γ sono ortogonali, quindi indipedenti. La condizione R2 è soddisfatta
per costruzione.
Per mostrare che vale anche la R3 facciamo uso della solita tabella :
Tabella 4.3:
(, ) α β γ δ −α −β −γ −δ
α 2 1 0 -1 -2 -1 0 1
β 2 2 2 0 -2 -2 -2 0
γ 0 1 2 1 0 -1 -2 -1
δ -2 0 2 2 2 0 -2 -2
−α -2 -1 0 1 2 1 0 -1
−β -2 -2 -2 0 2 2 2 0
−γ 0 -1 -2 -1 0 1 2 1
−δ 2 0 -2 -2 -2 0 2 2
Le riflessioni determinate dai vettori di B2 sono quattro : σα,σβ, σγ e σδ. Per σα si ottiene :
• σα(β) = β − (β, α)α = β − 2α = (l, l) − 2(l, 0) = (−l, l) = δ
• σα(γ) = γ − (γ, α)α = γ
• σα(δ) = δ − (δ, α)α = δ + 2α = (−l, l) + 2(l, 0) = (l, l) = β
per σβ abbiamo
• σβ(α) = α − (α, β)β = α − β = (l, 0) − (l, l) = (0, −l) = γ