Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.5. BASI DI SISTEMI DI RADICI 79
λ ≺ γ possiamo avere 3 possibilità. La prima è µ = λ e λ = γ quindi µ = γ e µ ≺ γ ; la seconda possi-
bilità è che λ − µ è somma di radici positive e µ = γ (o viceversa) e quindi λ − µ = λ − γ, ossia λ ≺ γ
; infine possiamo avere che µ − λ e λ − γ sono somme di radici positive, per cui µ − λ + λ − γ = µ − γ
è somma di radici positive, dunque µ ≺ γ.
Lemma 4.5.2. Sia E uno F -spazio vettoriale di dimensione finita, con F campo che possiede almeno
n − 1 elementi non nulli distinti. Se U1, . . . , Un sono sottospazi propri di E aventi tutti la stessa
dimensione, la loro unione U non è un sottospazio di E e quindi è un suo sottoinsieme proprio (se U
concidesse con E sarebbe un suo sottospazio vettoriale)
Dimostrazione. Assumiamo, senza ledere la generalità, che gli Ui siano tutti distinti.
Dunque, se i = j, abbiamo :
Ui \ Uj = 0 ; Uj \ Ui = 0 (4.67)
Infatti se, ad esempio, non valesse la prima relazione, avremmo Ui ∩ Uj = Ui, dunque Ui sarebbe
contenuto in Uj e avremmo Ui = Uj (in quanto i due sottospazi vettoriali hanno la stessa dimensione)
contrariamente all’ipotesi fatta. In maniera analoga si prova la seconda relazione.
Procediamo per induzione su n.
Partiamo da due sottospazi. Per quanto sopra osservato esistono due vettori non nulli u1 ∈ U1 \ U2
e u2 ∈ U2 \ U1 : di questi due vettori consideriamo la somma. Se u1 + u2 appartenesse ad U1 allora
u2 = (u1 + u2) − u1 = u2 sarebbe contenuto in U1, il che è un assurdo. Ad una contraddizione analoga
si arriva se si suppone u1 + u2 ∈ U2. Dunque ad U appartengono u1 e u2 ma non u1 + u2 : l’unione
dei sottospazi non è chiuso rispetto alla somma e quindi non è un sottospazio.
Passiamo a considerare n generico.
Supponiamo per assurdo che U sia un sottospazio vettoriale di E. Il sottospazio U1 non è contenuto
in ∪ n i=2 Ui altrimenti quest’ultimo insieme coinciderebbe con U e sarebbe un sottospazio vettoriale
contraddicendo l’ipotesi induttiva. Allora esiste un vettore u1 ∈ U1 non contenuto in ∪ n i=2 Ui, quindi
u1 appartiene a U1 ma non è contenuto in nessun altro Ui (i = 1). Similmente, esiste u2 ∈ U2 che
non appartiene a nessuno degli Ui con i = 2. Consideriamo ora u1 + λu2 con λ scalare non nullo del
campo F : esso appartiene ad U e quindi ad almeno un Ui.
Se poi λ1, λ2 sono due scalari non nulli distinti, i vettori u1 + λ1u2, u1 + λ2u2 devono appartenere a
differenti Ui. Se infatti supponiamo che essi appartengano entrambi ad un Uj (j non può essere ne 1 ne
2 per lo stesso ragionamento fatto per n = 2), allora la differenza (u1+λ1u2)−(u1+λ2u2) = (λ1−λ2)u2
appartiene ad Uj. Questo conduce all’assurdo che u2 sia contenuto in Uj.
Ipotizzando che F contenga almeno n − 1 elementi λ1, . . . , λn−1 non nulli distinti, i vettori
u1 + λku2 k = 1, . . . , n − 1 (4.68)