Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

Capitolo 4
Sistemi di Radici
4.1 Spazi euclidei e riflessioni
Definizione 4.1.1. Uno spazio euclideo E é uno spazio vettoriale reale di dimensione finita dotato di
un prodotto scalare, ossia un’applicazione bilineare
che soddisfa le condizioni seguenti
: E × E → R
(v, w) ↦→ < v, w >
• S1) < v, v > ≥ 0 ∀v ∈ E ed inoltre < v, v > = 0 ⇔ v = 0 (definita poisitiva)
• S2) < v, w > = < w, v > ∀v, w ∈ E (simmetrica)
• S3) < v, w > ≤ < v, z > + < z, w > ∀v, w, z ∈ E (disuguaglianza triangolare)
Definizione 4.1.2. Sia E uno spazio euclideo di dimensione n. Una riflessione in E è un automor-
fismo di E che lascia fissi i punti di un iperpiano W ⊂ E e che manda ogni vettore ortogonale a tale
iperpiano nel suo opposto.
Ricordiamo che un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale E di dimensione finita è un
iperpiano se la sua codimensione è 1, ossia dim(E) − dim(W ) = 1.
Dalla definizione segue facilmente che ogni riflessione conserva il prodotto scalare e che la sua inversa
è essa stessa.
Sia σ una riflessione dello spazio euclideo E che fissa l’iperpiano W . Dall’algrebra lineare sappiamo :
E = W ⊕ W ⊥
dunque due vettori v, w ∈ E li possiamo scrivere come
(4.1)
v = v1 + v2 ; w = w1 + w2 (4.2)
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