Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

3.6. SOTTOALGEBRE TOROIDALI E DECOMPOSIZIONE DI CARTAN 53
degenere. Supponiamo φ(h1) = φ(h2), dunque queste due forme lineari agiscono allo stesso modo su
ogni vettore z ∈ H. Pertanto :
k(h1, z) = h(h2, z) ⇔ k(h1, z) − k(h2, z) = 0 ⇔ k(h1 − h2, z) = 0 ∀z ∈ H
e quindi, per quanto detto su k, segue h1 − h2 = 0 ossia h1 = h2.
(3.71)
Grazie all’isomorfismo φ, ad ogni radice α ∈ Φ rimane associato un unico elemento tα ∈ H tale che :
k(tα, z) = α(z) ∀z ∈ H (3.72)
Lemma 3.6.6. Sia α una radice di L relativa ad H. Se x ∈ Lα e y ∈ L−α allora [x, y] = k(x, y)tα.
In particolare hα = [eα, fα] ∈ Span{tα}
Se α ∈ Φ, possiamo considerare L come un sl(α)-modulo. Dato a ∈ sl(α) e y ∈ L poniamo :
a.y = (ad a)(y) = [a, y] (3.73)
Quanto definito verifica le condizioni M1 e M2 per la bilinearitá del commutatore ed inoltre, se b é un
secondo elemento di sl(α), per l’idenitá di Jacobi abbiamo :
[a, b].y = [[a, b], y] = −[y, [a, b]] = [a, [b, y]] + [b, [y, a]] = [a, [b, y]] − [b, [a, y]] = a.(b.y) − b.(a.y) (3.74)
ossia anche la condizione M3 risulta soddisfatta.
Dalla definizione di sottomodulo segue che gli sl(α)-sottomoduli di L sono i sottospazi vettoriali M
di L tali che [s, m] ∈ M per ogni s ∈ sl(α) e m ∈ M. Ovviamente é sufficiente verificare che questo
accade quando s é un elemento della base {eα, fα, hα} di sl(α).
Da questo momento in poi supponiamo che il campo F sia il campo dei complessi C. Questo fa-
ciliterá la trattazione, permettendoci di arrivare per via diretta a quanto prefissato, ossia associare
ad un’algebra di Lie semisemplice un sistema di radici (la definizione di sistema di radici la vedremo
solo nel capitolo 4). Tutti i risultati che seguono valgono per una campo F (algebricamente chiuso e
con caratteristica nulla) generico, ma in questo caso avremmo bisogno di un passaggio intermedio non
banale che fa uso del prodotto tensoriale (per i dettagli si veda [3], da pagina 35 a pagina 40).
Lemma 3.6.7. Se M é un sl(α)-sottomodulo di L, allora hα, agendo su M, ha autovalori interi.
Proposizione 3.6.8. Sia α una radice di L relativa ad H. Allora Lα e L−α hanno dimensione 1.
Inoltre, gli unici multipli di α (elementi della forma a α, con a scalare di F = C) che appartengono a
Φ sono ±α.