Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.2. SISTEMI DI RADICI 59
è un iperpiano di E. Infatti, se denotiamo con W il sottospazio vettoriale generato da α (quindi
dim(W ) = 1), abbiamo Pα = W ⊥ .
Ne consegue:
dim(E) = dim(W ) + dim(W ⊥ ) ⇒ dim(E) − dim(W ⊥ ) = dim(W ) = 1 (4.12)
Se prendiamo un punto β ∈ Pα abbiamo σα(β) = β mentre se γ è un vettore ortogonale a Pα esso è un
multiplo di α (γ è ortogonale a Pα se e solo se appartiene a W , poichè (W ⊥ ) ⊥ = W ) e viene mandato
nel suo opposto :
σα(aα) = a(α −
2 < α, α >
α) = −aα (4.13)
< α, α >
Abbiamo dunque dimostrato che σ è una riflessione in E che fissa l’iperpiano Pα.
Considerando un multiplo a α di α abbiamo σα = σaα in quanto :
σaα(β) = β −
2 < β, aα > 2 < β, α >
aα = β −
< aα, aα > < α, α > α = σα(β) ∀β ∈ E (4.14)
Introduciamo infine una notazione che useremo spesso in seguito. Denotiamo con il simbolo (β, α)
il numero reale 2
, con α e β vettori dello spazio euclideo E e α ovviamente non nullo. Questa
quantità non è altro che il doppio della proiezione ortogonale di β su α diviso il quadrato della norma
di α.
4.2 Sistemi di radici
Un sottoinsieme Φ di uno spazio euclideo E si dice sistema di radici in E se esso soddisfa le seguenti
condizioni :
• (R1) Φ è finito, non contiene il vettore nullo e genera E
• (R2) se α appartiene a Φ gli unici multipli di α ( cioè vettori del tipo aα, con a numero reale)
contenuti in Φ sono α e −α
• (R3) se α appartiene a Φ, la riflessione σα lascia Φ invariato (non puntualmente)
• (R4) se α, β ∈ Φ, allora (α, β) è un numero intero
A partire dalla definizione, possiamo dedurre un primo risultato.
Su uno spazio euclideo E consideriamo un sottoinsieme Φ che soddisfa le condizioni R1, R3 ed R4. Mos-
triamo che, dato α ∈ Φ, gli unici suoi multipli che possono essere contenuti in Φ sono ± 1
2α, ±α, ±2α.
Supponiamo che a α appartenga a Φ. Per la R4 abbiamo :
< α, a α >
< α, a α > 2
(a α, α) = 2 = 2a = h ∈ Z ; (α, a α) = 2 = = k ∈ Z (4.15)
< α, α > < a α, a α > a