Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.4. COPPIE DI RADICI 75
da cui si ricava necessariamente k = 1. Inoltre
Per θ = 3π
4
invece si ha:
β 2 = 2 (4.53)
α 2 β
(β, α) = 2
α cos(θ) = −√ β
2 = −2k (4.54)
α
con k intero positivo, in quanto dobbiamo avere β / α = k √ 2. Ne consegue :
√
α
α √
2
(α, β) = 2 cos(θ) = − 2 = −
β β k √ 1
= −
2 k
con k ancora una volta uguale ad uno. In più :
(iv) cos 2 (θ) = 3
4
Abbiamo cos(θ) = ±
√ 3
2
Nel caso θ = π
6 abbiamo:
e dunque θ = π
6
(4.55)
β 2 = 2 (4.56)
α 2 oppure θ = 5π
6 .
β
(β, α) = 2
α cos(θ) = √ β
3 = 3k (4.57)
α
con k intero positivo e β / α = k √ 3 per ragionamenti analoghi a quelli visti nel punto
precedente. Inoltre :
da cui si ricava k = 1 e :
Infine, per θ = 5π
6
si ha:
α α √
(α, β) = 2 cos(θ) = 3 =
β β
√ 3
k √ 3
= 1
k
(4.58)
β 2 = 3 (4.59)
α 2 β
(β, α) = 2
α cos(θ) = −√ β
3 = −3k (4.60)
α
con k intero positivo e β / α = k √ 3. Ne consegue :
√
α
α √
3
(α, β) = 2 cos(θ) = − 3 = −
β β k √ 1
= −
3 k
e quindi k = 1. Perciò :
(4.61)
β 2 = 3 (4.62)
α 2 Per semplificare la consultazione dei risultati ottenuti, li raggruppiamo nella seguente tabella riassun-
tiva :