Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

38 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI
Teorema 3.3.2. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita ed L una sottoalgebra di Lie di
gl(V ). Se tr(x ◦ y) = 0 per ogni x ∈ [L, L], y ∈ L allora L é risolubile
Dimostrazione. Per quanto osservato all’inizio del paragrafo, ci é sufficiente mostrare che [L, L] é
nilpotente. Ricordando che :
• se x ∈ gl(V ) é un endomorfismo nilpotente, allora anche ad x lo é ;
• se tutti gli elementi di un’algebra di Lie sono ad-nilpotenti allora anche l’algebra di Lie in
questione é nilpotente
basta dimostrare che ogni endomorfismo di [L, L] ⊂ gl(V ) é nilpotente.
Applichiamo il lemma precedente al caso seguente :
• V é lo spazio vettoriale dato ;
• A = [L, L]
• B = L e quindi A ⊆ B
Allora M é l’insieme :
M = {x ∈ gl(V ) | [x, L] ⊂ [L, L]}
ed é ovvio che L ⊆ M. Per ipotesi abbiamo tr(x ◦ y) = 0 per ogni x ∈ [L, L] = A, y ∈ L = B mentre,
per poter dire che gli endomorfismi di [L, L] sono nilpotenti sfruttando il lemma, avremmo bisogno
che tr(x ◦ y) = 0 per ogni x ∈ [L, L] = A, y ∈ M (L é contenuto in M).
Considerando un elemento [x, y] ∈ [L, L] e un generico z ∈ M, per quanto osservato prima del teorema,
abbiamo :
tr([x, y] ◦ z) = tr(x ◦ [y, z]) = tr([y, z] ◦ x) (3.31)
e, per come abbiamo definito M, [y, z], e quindi anche [z, y], appartiene a [L, L]. Allora tr([y, z]◦x) = 0
per ipotesi dunque
Questo conclude la dimostrazione.
tr([x, y] ◦ z) (3.32)
Corollario 3.3.3. Sia L un’algebra di Lie tale che tr(ad x◦ad y) = 0 per ogni x ∈ [L, L], y ∈ L. Allora
L é risolubile.
Dimostrazione. Dato che la rappresentazione aggiunta preserva il commutatore, abbiamo che ad([L, L]) =
[ad(L), ad(L)]. Inoltre ad(L) é una sottoagebra di Lie di gl(L) e tr(ad x ◦ ad y) = 0 per ogni
ad x ∈ [ad(L), ad(L)], ad y ∈ ad(L). Per il teorema precedente abbiamo che ad(L) é risolubile.
Il nucleo della rappresentazione aggiunta é Z(L), il quale é un ideale risolubile di L. Sappiamo che
L/Z(L) é isomorfo ad ad(L) perció anche L/Z(L) e L sono risolubili.