Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

62 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
quanto tutti i vettori dell’elenco appartengono a Φ. Se supponiamo che τ i (β) = τ l (β) con l < i allora
τ −l (τ i (β)) = τ −l (τ l (β), ossia τ i−l (β) = β e quindi fra le radici che si ripetono c’è anche β. Denotiamo
con kβ il più piccolo indice tale che τ kβ(β) = β.
Scegliamo un k abbastanza grande tale che τ k fissi ogni β ∈ Φ (prendiamo il minimo comune multiplo
deii kβ). Dato che Φ genera E, allora τ k = idE e dunque il polinomio minimo di τ divide T k − 1 (in
quanto τ k − idE = 0 e il polinomio minimo di τ divide tutti i polinomo p(T ) ∈ R[T ] tali che p(τ) = 0).
Abbiamo ottenuto che pτ divide sia T k − 1 che (T − 1) l e quindi pτ = T − 1, in quanto stiamo
ovviamente considerando dim(V ) = 0 e quindi il polinomio minimo di τ non può essere di grado 0
(T k − 1 ha come 1 unica radice reale, le altre sono complesse in quanto radici dell’unità mentre pτ ha
solo 1 come radice : gli unici fattori comuni sono 1 e T − 1).
Per definizione di polinomio minimo abbiamo τ − idE = 0, ossia τ = σ ◦ σα = idE e quindi σ = σα in
quanto abbiamo visto che σα = σ −1
α .
Ma σα fissa un unico iperpiano Pα per cui P = Pα. Infatti, se σα fissasse un secondo iperpiano, distinto
da Pα, dovrebbe esistere almeno un vettore non nullo β di tale iperpiano che non appartiene a Pα.
Allora la somma dei sottospazi Pα ⊕ Rα ⊕ Rβ sarebbe diretta, eccedendo la dimensione di E.
Proposizione 4.2.2. Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo E, con gruppo di Weyl W .
Se σ è un automorfismo di E che lascia invariato Φ, allora:
• i) σ ◦ σα ◦ σ −1 = σ σ(α)
∀α ∈ Φ
• ii)(β, α) = (σ(β), σ(α)) ∀α, β ∈ Φ
Dimostrazione. Dato che σ è un auotomorfismo di E, σ(Pα) è un iperpiano (σ |Pα
Inoltre, se γ ∈ σ(Pα) si ha :
è un isomorfismo).
γ = σ(β) con β ∈ Pα (4.20)
σ ◦ σα ◦ σ −1 (γ) = σ(σα(σ −1 (σ(β)))) = σ(σα(β)) = σ(β) (4.21)
ossia dal fatto che σα fissa i punti di Pα segue che σ ◦ σα ◦ σ −1 fissa i punti di σ(Pα).
Inoltre σ(σα(σ −1 (σ(α)))) = σ(σα(α)) = σ(−α) = −σ(α).
Dunque di σ ◦ σα ◦ σ −1 sappiamo che :
• lascia invariato Φ in quanto ognuna delle funzioni componenti lascia Φ invariato
• fissa i punti dell’iperpiano σ(Pα)
• manda la radice σ(α) = 0 (poichè α = 0 e σ è iniettiva) nel suo opposto
Per il lemma precedente segue che σ ◦ σα ◦ σ −1 = σ σ(α) e σ(Pα) = P σ(α).
Sia poi β un’altra generica radice di Φ. Allora :
σ ◦ σα ◦ σ −1 (σ(β)) = σ ◦ σα(β) = σ(β) − (β, α)σ(α) (4.22)