Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

84 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
camera di Weyl. Ma quest’ultima coincide con quella da cui siamo partiti? La risposta è positiva in
quanto Φ + (σ) = Φ + (σ ′ ).
In questo modo abbiamo definito un’applicazione f dalle camere di Weyl alle basi e un’applicazione g
dalle basi alle camere di Weyl, con f ◦ g uguale all’ identità. Mostriamo che anche g ◦ f è l’identità e
quindi f, g sono una l’inversa dell’altra.
Prendiamo una base ∆ e un elemento regolare σ tale che Φ + = Φ + (σ) di cui consideriamo la camera
di Weyl. A sua volta, alla camera di Weyl facciamo corrispondere una base. Quella di partenza e
quella di arrivo coincidono in quanto le due basi sono determinate dalla stessa polarizzazione.
Data una base ∆ del sistema di radici Φ nello spazio euclideo E, scriviamo Υ(∆) = Υ(γ) se
∆ = ∆(γ) : chiamiamo tale componente connessa la camera di Weyl fondamentale relativa a ∆.
Se ∆ = ∆(γ) allora è ovvio che < α, γ > > 0 per tutte le radici semplici α. Viceversa, se γ è tale
che < α, γ > > 0 per tutte le radici semplici α, per il passo 5 della dimostrazione del Teorema 4.5.4,
abbiamo ∆ = ∆(γ). Disponiamo quindi di una condizione necessaria e sufficiente affinchè un vettore
γ ∈ E “generi” la base ∆.
Osserviamo che se γ e γ ′ generano ∆ essi sono regolari ed inoltre Φ + (γ) = Φ + (γ ′ ) in quanto il prodotto
scalare per una qualsiasi radice è la combinazione lineare di quantità positive con coefficienti tutti non
positivi o non negativi ; questi coefficienti sono non tutti nulli e uguali sia per γ che per γ ′ . Dunque gli
elementi regolari che generano ∆ sono nella stessa camera di Weyl Υ. Vogliamo capire se tutti gli altri
elementi di Υ generano ∆. La risposta è positiva in quanto due elementi della stessa camersa di Weyl
determinano la stessa polarizzazione e la polarizzazione determina univocamente la base. Dunque in
Υ(∆) ci sono tutti e soli gli elementi regolari di E che generano ∆, ossia tutti gli elementi tali che
< α, γ > > 0 per ogni radice semplice α. La camera di Weyl fondamentale relativa a ∆ è quindi ben
definita.
Definizione 4.5.5. Sia G un gruppo moltiplicativo e A un generico insieme. Un’azione sinistra di G
su A è un’applicazione :
tale che :
• 1 · a = a ∀ a ∈ A;
ϕ : G × A → A
• g · (h · a) = (gh) · a ∀ g, h ∈ G, a ∈ A.
(g, a) ↦→ ϕ(g, a) = g · a
Diremo che l’azione ϕ è transitiva se per ogni coppia di elementi a, a ′ di A esiste g ∈ G tale che
g · a = a ′ . Se l’elemento g è unico diremo che ϕ è semplicemente transitiva.