Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

68 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
L’insieme considerato è finito in quanto costituito da 6 vettori ; nessuno di questi vettori è nullo
ed inoltre è evidente l’indipendenza di α e β per cui A2 è un sistema di generatori di E. Quindi vale
la condizione R1 e ovviamente anche la R2.
La condizione R2 è banalmente verificata.
Come prima, per la condizione R4 riassumiamo tutti i calcoli in una tabella :
Tabella 4.2:
(, ) α β γ −α −β −α
α 2 1 -1 -2 -1 1
β 1 2 1 -1 -2 -1
γ -1 1 2 1 -1 -2
−α -2 -1 1 2 1 -1
−β -1 -2 -1 1 2 1
−γ 1 -1 -2 -1 1 2
e dunque viene rispettata la condizione voluta.
Infine le riflessioni : quelle determinate dai vettori di A2 sono tre, ossia σα,σβ e σγ.
Per quanto riguarda σα si ha :
• σα(β) = β − (β, α)α = β − α = ( l
2 ,
√
3
l
2 l) − (l, 0) = (− 2 ,
√
3
2 l) = γ
• σα(γ) = γ − (γ, α)α = γ + α = (− l
2 ,
√
3
l
2 l) + (l, 0) = ( 2 ,
√
3
2 l) = β
mentre per σβ abbiamo
• σβ(α) = α − (α, β)β = α − β = (l, 0) − ( l
2 ,
√ √
3 l 3
2 l) = ( 2 , − 2 l) = −γ
• σβ(γ) = γ − (γ, β)β = γ − β = (− l
2 ,
√
3 l
2 l) − ( 2 ,
√
3
2 l) = (−l, 0) = −α
ed infine:
• σγ(α) = α − (α, γ)γ = α + γ = (l, 0) + (− l
2 ,
√
3 l
2 l) = ( 2 ,
√
3
2 l) = β
• σγ(β) = β − (β, γ)γ = β − γ = ( l
2 ,
√
3 l
2 l) − (− 2 ,
√
3
2 l) = (l, 0) = α