Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

60 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
con h, k non nulli in quanto il caso a = 0 è escluso dalla condizione R1.
Ne consegue che a = h
2
e perciò 1
a
2
1
= h . Dunque, per la relazione a
k
2
= 2 , deduciamo h
= k
2 e
quindi k = 4
h . Dovendo essere k intero, le uniche possibilità sono h = {±1, ±2, ±4} da cui segue
k = {±4, ±2, ±1}. Allora da a = h
2
ricava partendo da a = 2
k ).
1
ricaviamo che a appartiene all’insieme {± 2 , ±1, ±2} (lo stesso si
Questo risultato conduce ad un’osservazione : dato un sistema di radici Φ in E e una sua radice α,
dalla condizione R3 ricaviamo che σα(α) = −α è ancora una radice. Con la condizione R2 imponi-
amo una condizione più forte : α, −α sono radici e in più esse sono gli unici multipli di α contenuti in Φ.
Osservazione : Talvolta, in letterattura, la condizione R2 viene omessa e quello che noi abbiamo
chiamato sistema di radici viene chiamato sistema di radici ridotto. Esistono esempi di sistemi di radi-
ci non ridotti che contengono α e 2α come radici, il chè comporta che R2 è indipendente da R1, R3, R4.
Se al prodotto scalare definito in E sostituiamo un suo multiplo con fattore positivo a ∈ R (si
verifica banalmente che quello che si ottiene è ancora un prodotto scalare), allora un sistema di radici
continua a rimanere tale. Infatti le condizioni R1 e R2 restano verificate ed inoltre, date due radici
α, β abbiamo:
a < α, β > α, β >
(α, β) = 2 = 2< ∈ Z
a < β, β > < β, β >
(4.16)
a < α, β >
α, β >
σα(β) = β − 2 α = β − 2<
a < β, β > < β, β > α ∈ Φ ⇒ σα(Φ) = Φ (4.17)
per l’ipotesi che Φ è un sistema di radici con il “vecchio” prodotto scalare.
Preso un generico spazio vettoriale E, denotiamo con GL(E) l’insieme di tutti i suoi automorfismi.
Tale insieme è dotato della struttura di gruppo dalla composizione funzionale : la composizione di
due elementi di GL(E) è ancora un automorfismo di E, l’identità è un automorfismo di E come pure
l’inversa di un elemento di GL(E). Infine la composizione funzionale è sempre associativa.
Dato un sistema di radici Φ nello spazio euclideo E chiamiamo gruppo di Weyl di Φ, e lo denotiamo
con W , il sottogruppo di GL(E) generato dalle riflessioni σα, al variare di α in Φ.
Ognuna delle riflessioni σα dette manda Φ in Φ e quindi ogni elemento di W , essendo la composizione
di un numero finito di tali riflessioni, manda Φ in Φ, cioè lo permuta. Poichè Φ genera E, un auto-
morfismo di E risulta completamente determinato quando conosciamo come agisce su Φ e ciò consente
di identificare W con un sottogruppo del gruppo delle permutazioni di Φ. Infatti possiamo creare
un’applicazione fra W e il gruppo delle permutazione di Φ la quale, ad ogni elemento di W , associ la
sua restrizione a Φ. Ovviamente questa applicazione è un omomorfismo di gruppi ed inoltre è iniet-
tiva per la caratterizzazione degli automorfismi attraverso la loro azione su Φ. Dunque W può essere
identificato con l’immagine di tale applicazione. Da ciò consegue che il gruppo di Weyl è costituito da