Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI Il nucleo della rappresentazione aggiunta é costituito da tutti i vettori x ∈ L tali che ad x = 0, ossia [x, y] = 0 per ogni elemento y di L. Ció comporta ker(ad) = Z(L). Se L é semplice, allora Z(L) = 0 e dunque la rappresentazione aggiunta é iniettiva. Perció ogni algebra di Lie semplice é isomorfa ad un’algebra di Lie lineare (basta restringere il codominio ad ad(L) che é una sottoalgebra di End(L)). Può capitare che ad x sia l’endomorfismo nullo anche se x non è il vettore nullo. Quanto detto succede, ad esempio, per tutti gli elementi di algebre di Lie abeliane. Se K è una sottoalgebra di Lie di L ed x ∈ K, per denotare l’immagine di x rispetto alla rappresentazione aggiunta di K usiamo il simbolo adK x, (rispetto ad ad x, questa applicazione agisce solo sugli elementi di K). Sia F un campo. Per F -algebra intendiamo un F -spazio vettoriale U dotato di un’applicazione bilineare da U × U in U, le cui immagini le denotiamo semplicemente con la giustapposiozione degli argomenti. Una derivazione dell’ F -algebra U è un suo endomorfismo δ tale che : δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b ∀a, b ∈ U (3.5) L’insieme di tutte le derivazioni di U lo denotiamo con Der(U) : esso è un sottospazio vettoriale di End(U). Siano f, g due derivazioni, allora la loro somma è ancora un endomorfismo di U ed anche una derivazione : • (f + g)(ab) = f(ab) + g(ab) = af(b) + f(a)b + ag(b) + g(a)b • a((f + g)(b)) + ((f + g)(a))b = a(f(b) + g(b)) + (f(a) + g(a))b = af(b) + ag(b) + f(a)b + g(a)b in quanto con a e b abbiamo indicato due generici elementi di U. Analogo risultato lo si ha se consideriamo αf, con f derivazione di U e α scalare di F . Oltre ad essere ancora un endomorfismo di U, αf soddisfa la definizione di derivazione : • (αf)(ab) = α(f(ab)) = α(af(b) + f(a)b) = α(af(b)) + α(f(a)b) • a((αf)(b)) + ((αf)(a))b = a(αf(b)) + (αf(a))b = α(af(b)) + α(f(a)b) con a, b ancora generici elementi di U. Ma U non è solo un sottospazio vettoriale di End(U), è una sua sottoalgebra di Lie. Date due derivazioni f, g, il loro commutatore è ancora un endomorfismo di U ed inoltre, prendendo a, b ∈ U, abbiamo : • [f, g](ab) = (f ◦ g − g ◦ f)(ab) = f(g(ab)) − g(f(ab)) = f(ag(b) + g(a)b) − g(af(b) − f(a)b) = a(f(g(b))) + f(a)g(b) + g(a)f(b) + (f(g(a)))b − a(g(f(b))) − g(a)f(b) − f(a)g(b) − (g(f(a)))b = a(f(g(b))) + (f(g(a)))b − a(g(f(b))) − (g(f(a)))b
3.2. TEOREMA DI ENGEL 31 • a([f, g](b))+([f, g](a))b = a(f(g(b))−g(f(b)))+(f(g(a))−g(f(a)))b = a(f(g(b)))−a(g(f(b)))+ (f(g(a)))b − (g(f(a)))b = a(f(g(b))) + (f(g(a)))b − a(g(f(b))) − (g(f(a)))b Se prendiamo un’algebra di Lie L su un campo F , allora L è una F -algebra (la forma bilineare è il commutatore) e risulta definito Der(L) : esso è l’insieme degli endomorosfmi f di L tali che f([x, y]) = [x, f(y)] + [f(x), y]. Fissato un elemento x ∈ L, consideriamo la sua immagine tramite la rappresentazione aggiunta : ad x : L → L y ↦→ [x, y] Essa è una derivazione di L. Infatti prima di tutto è un endomorfismo di L, ed inoltre, utilizzando l’identità di Jacobi si ha : ad x([y, z]) = [x, [y, z]] = −[y, [z, x]] − [z, [x, y]] = [y, [x, z]] + [[x, y], z] = [y, ad x(z)] + [ad x(y), z] (3.6) Una derivazione di L di questa forma si dice interna ; le altre le diciamo esterne. 3.2 Teorema di Engel Sia L un’algebra di Lie ed x un suo elemento. Diremo che x è ad-nilpotente se l’endomorismo ad x è nilpotente. Se L un’algebra di Lie nilpotente, ossia L n = 0 per un certo n, allora, per ogni x1, x2, ..., xn, y ∈ L abbiamo : ad x1(ad x2(· · · (ad xn(y)) · · · )) = 0 (3.7) Infatti ad xn(y) = [xn, y] ∈ L 1 , ad xn−1(ad xn(y)) = [xn−1, ad xn(y)] ∈ L 2 e così via fino ad arrivare all’applicazione di ad x1 che restituisce un elemento di L n , che deve essere nullo. In particolare si ha (ad x) n = 0 per ogni elemento x di L. Dunque ogni elemento di un’algebra di Lie nilpotente è ad-nilpotente. Viceversa, se in un’algebra di Lie L vale la relazione ad x1(ad x2(· · · (ad xn(y)) · · · )) = 0 per ogni scelta di x1, x2, ..., xn, y ∈ L, allora L è nilpotente poichè riusciamo ad ottenere tutti gli elementi di L n i quali risultano nulli. Vediamo ora il Teorema di Engel, il quale dice che se tutti gli elementi di un’algebra di Lie L sono ad-nilpontenti, allora L è nilpotente. Per la dimostrazione del Teorema di Engel ci è necessario premettere due risultati. Lemma 3.2.1. Dato uno spazio vettoriale V e un suo endomorfismo nilpotente x, ad x è nilpotente.
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