Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.5. BASI DI SISTEMI DI RADICI 77
non sia una radice. Allora possiamo trovare p, s ∈ [−r, q], con p < s tali che:
β + pα ∈ Φ ; β + (p + 1)α /∈ Φ
β + (s − 1)α /∈ Φ ; β + sα ∈ Φ
dato che basta prendere p + 1 = i = s − 1 Se < α, β + pα > fosse strettamente negativo, per il lemma
precedente β + pα + α = β + (p + 1)α dovrebbe essere una radice. Quindi risulta :
< α, β + pα > = < α, β > +p < α, α > ≥ 0
Analogamente, se < α, β + sα > fosse strettamente positivo alla β + sα − α = β + (s − 1)α dovrebbe
essere una radice e dunque deduciamo
< α, β + sα > = < α, β > +s < α, α > ≤ 0
Ma < α, α > è positivo e p minore di s, per cui ad < α, β > sommiamo due diverse quantità :
< α, β + sα > e < α, β + pα > non possono essere uguali ne tanto meno il secondo può essere più
grande del primo, dato che a valere è il viceversa. L’assurdo trovato comporta che l’α-stringa attraverso
β non ha buchi, ossia contiene tutte le radici β + iα al variare di i in [−r, q].
La riflessione σα somma o sottrae, alle radici su cui agisce, un multiplo intero di α e dunque l’α-stringa
attraverso β viene mandata in sè stessa da σα. Prendiamo una generica radice α + iβ della stringa.
Abbiamo:
σα(β + iα) = β + iα − 2
< β + iα, α >
< α, α >
β, α > +i < α, α >
α = β + iα − 2< α =
< α, α >
β, α >
β, α >
β + iα − 2 α − 2iα = β − iα − 2 α = β − jα
< α, α > < α, α >
dunque le immagini delle diverse radici della stringa variano solo per il fattore −iα. Allora, se i1 < i2,
segue −i1 > −i2 e quindi j1 > j2. Questo significa che la stringa viene “rovesciata” : numerando le
radici secondo il crescere di i, quelle che erano le prime diventano le ultime e viceversa. In particolare
abbiamo σα(β + qα) = β − rα. Ma da quest’ultima relazione si ricava :
β + qα − (β, α)α − 2qα = β − rα ⇒ ((β, α) + q − r)α = 0 (4.65)
ed, essendo α non nullo, abbiamo (β, α) = r − q.
4.5 Basi di sistemi di radici
Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo E.
Un sottoinsieme ∆ ⊂ Φ si dice base del sistema di radici Φ se :