Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

quantità postive o al più nulle). Dovendo essere la somma dei quadrati uguali a 2 deduciamo che due
differenenti coefficienti, ai e aj con i = j, devono avere valore assoluto unitario mentre gli altri devono
essere nulli. La prima condizione non consente che ai e aj abbiano lo stesso segno per cui abbiamo
ai = 1 e aj = −1 oppure viceversa. Dunque ogni elemento di Φ è della forma ɛi − ɛj, con i e j che
variano in {1, . . . , p + 1} ma sempre differenti. Viceversa, un elemento ɛi − ɛj con i = j appartiene ad
I, è un vettore di E in quanto < ɛi − ɛj, ɛ1 + ɛ2 + · · · + ɛp + ɛp+1 >=< ɛi, ɛi > − < ɛj, ɛj >= 1 − 1 = 0,
ed inoltre ha norma al quadrato uguale a (−1) 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2. Ne consegue che :
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Φ = {ɛi − ɛj | i = j} (5.26)
I vettori di Φ sono tutti non nulli in quanto hanno norma non nulla e sono in numero finito (pre-
cisamente p(p + 1) ). L’opposto di un vettore ɛi − ɛj di Φ appartiene anch’esso a Φ ed inoltre se
a(ɛi − ɛj) ∈ Φ allora < a(ɛi − ɛj), a(ɛi − ɛj) >= 2a 2 = 2 e dunque a = ±1.
Siano ɛi − ɛj,ɛk − ɛh due vettori di Φ, vogliamo capire se σɛi−ɛj (ɛk − ɛh) = (ɛk − ɛh) − (ɛk − ɛh, ɛi −
ɛj)(ɛi − ɛj) = ɛk − ɛh− < ɛk − ɛh, ɛi − ɛj > (ɛi − ɛj) è ancora un elemento di Φ. Si possono avere i
seguenti casi :
• se i, j, h, k sono tutti diversi fra loro allora ɛk − ɛh risulta fissato ;
• se i = k ma j = h otteniamo ɛi − ɛh− < ɛi − ɛh, ɛi − ɛj > (ɛi − ɛj) = ɛi − ɛh − ɛi + ɛj = ɛj − ɛh ;
• se j = h ma i = k si ha (ɛk − ɛj)− < ɛk − ɛj, ɛi − ɛj > (ɛi − ɛj) = ɛk − ɛj − ɛi + ɛj = ɛk − ɛi ;
• se i = k e j = h allora i due elementi di Φ sono uguali quanto vogliamo dimostrare è banale.
Quindi σɛi−ɛj (ɛk − ɛh) è ancora un elemento di Φ : Φ soddisfa la condizione R2 ed R3, inoltre i calcoli
appena fatti mostrano che Φ verifica anche la condizione R4. Affinchè Φ sia un sistema di radici ci
rimane da mostrare che esso è un sistema di generatori. Consideriamo l’insieme :
∆ = {ɛi − ɛi+1 | i = 1, . . . , p} (5.27)
L’indipendenza di questi vettori segue da quella dei vettori della base canonica di R p . Infatti nella
combinazione lineare
b1(ɛ1−ɛ2)+b2(ɛ2−ɛ3)+· · ·+bp(ɛp−ɛp+1) = b1ɛ1+(b2−b1)b1ɛ2+· · ·+(bp−1−bp−2)ɛp−1+(bp−bp−1)ɛp−bpɛp+1
(5.28)
tutti i coefficienti devono essere nulli. Cominciando col porre nullo b1 otteniamo che anche b2, b3, . . . , bp
devono essere uguali a zero. Questo dimostra che Φ è un sistema di generatori per E e quindi un sis-
tema di radici.
Dato che E ha dimensione p, ∆ è un base di E. Ma non solo : se ɛi − ɛj è un elemento di Φ con
i < j (questa ipotesi non lede la generalità perchè se così non fosse basterebbe considerare l’opposto