Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.9. GRAFICO DI COXETER E DIAGRAMMI DI DYNKIN 93
Se due radici semplici α, β hanno la stessa norma, allora è evidente che (α, β) = (β, α) per cui
dal grafico di Coxeter possiamo ricavare (α, β) e (β, α) (la radice quadrata del numero dei fili che
congiungono α con β).
Se abbiamo radici semplici con norme differenti, il grafico di Coxeter non è in grado, date due radici
semplici α,β, di dirci i valori di α, β) e (β, α). Ad esempio, nei sistemi di radici B2 e G2 le due radici
di base hanno norme diverse.
Se due radici hanno norma uguale esse sono legate da un filo oppure sconnesse. Infatti se (α, β) = (β, α)
allora il loro prodotto è un intero positivo che può essere 0, 1, 2 o 3. Se è 0 allora i due fattori sono
nulli. Ma se non è 0 non può valere nè 2 nè 3, poichè questi valori non sono il quadrato di nessun
intero. Rimane allora il valore 1.
Viceversa, se due radici semplici sono legate da un filo allora esse hanno la stessa norma. Infatti,
indicato con θ l’angolo fra le due radici, si ha cos 2 (θ) = 1 e dunque cos(θ) = ±1/2. Perciò abbiamo
(α, β) = α
β
e (β, α) = β
α
a meno del segno (che comunque è uguale per entrambe le quantità).
Ma dato che questi due fattori sono interi e che gli unici interi con inverso moltiplicativo sono ±1, ne
consegue che il rapporto fra le norme è uguale ad 1 e quindi le norme coincidono.
Allora, se due radici semplici α,β sono connesse da due o tre fili, esse hanno lunghezza differente.
Questo ci invita ad aggiungere, nel grafico di Coxeter, la punta di una freccia diretta verso la più
corta fra le due radici α e β. Tale informazione addizionale trasforma i grafici di Coxeter nei cosidetti
diagrammi di Dynkin : quest’ultimo ci consente di determinare gli interi di Cartan dal grafico di
Coxeter.
Il prodotto sacalare fra due radici semplici, α e β, è non positivo e dunque neanche (α, β) e (β, α) lo
sono. Se le due radici non sono connesse allora (α, β) = (α, β) = 0 ; se sono connesse da un filo allora
(α, β) = (β, α) = −1. Dalla tabella vista nel paragrafo sulle coppie di radici deduciamo che se le radici
sono connesse da due fili e β ha norma maggiore di quella di α, allora (α, β) = −1 mentre (β, α) = −2.
Infine se le radici sono legate da tre fili e α < β allora abbiamo (α, β) = −1 e (β, α) = −3.
I diagrammi di Dynkin di A1 ×A1 e A2 coincidono con i rispettivi grafici di Coxeter in quanto le radici
sono sconnesse nel primo caso e legate da un filo nel secondo. Il diagramma di Dynkin di B2 differisce
dal suo grafico di Coxeter :
dove il vertice a sinistra rappresenta δ e quello a destra α (infatti la norma di α è più piccola
rispetto a quella di δ. Anche il diagramma di Dynkin di G2 varia rispetto al grafico di Coxeter