Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

110 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE
Simmetricamente otteniamo < η, η >= q(q + i)/2. Inoltre abbiamo :
Ne consegue :
< ɛ, η >=<
r
iɛi,
i=1
q
j=1
ηj >=
r
i=1 j=1
(< ɛ, η >) 2 = (rq < ɛr, ηq >) 2 = r2 q 2
q
ij < ɛi, ηj >= rq < ɛr, ηq > (5.11)
2
(5.12)
I vettori ɛ ed η sono indipendenti (una loro combinazione lineare è una combinazione lineare dei vettori
di U e dalla indipindenza di questi ultimi segue la nullità dei coefficienti) e dunque la disuguaglianza
di Cauchy-Schwartz vale con il minore stretto, ossia
Dunque abbiamo ottenuto :
r 2 q 2
2
r + 1 q + 1
< r q
2 2
In conclusione abbiamo trovato la relazione :
(< ɛ, η >) 2 < < ɛ, ɛ >< η, η > (5.13)
⇔ rq <
(r + 1)(q + 1)
2
= rq + q + r + 1
2
2rq − rq − r − q − 1 = rq − r − q − 1 < 0 ⇔ (r − 1)(q − 1) < 2 (5.14)
Quest’ultima relazione ci consente di capire come possono essere r e q. Ovviamente non consideriamo
r = 0 oppure q = 0 altrimenti si ricade nel grafico (i). Se r = 1 allora q può essere qualsiasi, se
q = 1 allora r può essere arbitrario : in entrambi i casi Γ non è altro che Bn = Cn. Ora supponiamo
r, q = 1, dato che questi casi li abiamo già considerati. Se r = 2 allora anche q deve essere uguale a 2,
non potendo essere maggiore di 2 perchè altrimenti non è verificata la condizione detta) Per lo stessa
ragione, r non può essere maggiore di 2. Invertendo il ragionamento otteniamo r = 2 per q = 2 e q
che non può essere maggiore di 2. Per r = q = 2 il grafico Γ è il grafico di Coxeter F4.
(10) Se il grafico connesso Γ è della tipologia (iv) allora esso è uno dei grafici di Coxeter Dn, E6, E7, E8.
Analogamente al punto precedente consideriamo i vettori :
r−1
s−1
ɛ = iɛi ; η = jηj ; ν = kνk
i=1
q−1
j=1
k=1
(5.15)
Questi tre vettori sono indipendenti (una loro combinazione lineare è la combinazione lineare di ele-
menti di U e dall’indipendenza di questi ultimi segue che tutti i coefficienti devono essere nulli), sono
mutuamente ortogonali (i vertici addendi di uno di questi vettori sono scollegati dai tutti i vertici ad-
dendi degli altri due vettori) ed inoltre ψ non è da essi generato (altrimenti U non sarebbe un insieme
di vettori indipendenti perchè uno di essi si scriverebbe come combinazione lineare dei restanti). Come
visto nel punto 6, schiacciando le catene semplici su ɛ, η, ν otteniamo un nuovo sistema ammissibile
ψ, ɛ, η, ν il cui grafico Γ ′ è un nodo. Applicando a ψ quanto fatto nel passo 4, otteniamo
(< ψ, ɛ >) 2 + (< ψ, η >) 2 + (< ψ, ν >) 2 < 1 (5.16)