Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

42 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI
Lo stesso vale se I contiene y, perché allora contiene anche h ([x, y] = h) e quindi x ([x, h] = −2x).
Se invece a = b = 0, allora c h = 0. Allora c = 0 e h ∈ I, per cui I contiene x ([x, h] = −2x) ed y
([y, h] = 2y). Segue I = L.
Possiamo concludere che L é semplice in quanto [L, L] = 0, basti prendere l’esempio
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
⎣
0
0 0
⎦ ⎣
0 0
1 0
⎦ − ⎣
0 0
1 1
⎦ ⎣
0 0
0 0
⎦ = ⎣
0 0
1 0
⎦ − ⎣
0 0
0 0
⎦ = ⎣
0 0
0
⎦)
0
Calcoliamo la matrice associata alla forma di Killing di sl(2, F ) rispetto alla base standard.
Prima di tutto abbiamo bisogno di trovare le matrici associate ad ad x, ad h, ad y, sempre rispetto alla
base standard
Partiamo da ad x e calcoliamo ad x(x), ad x(h), ad x(y) : le loro componenti rispetto a x, h, y saranno
le colonne della matrice associata ad ad x rispetto alla base fissata. Questi commutatori li abbiamo
calcolati, quindi sono noti i risultati :
ad x(x) = [x, x] = 0 ; ad x(h) = [x, h] = −2x ; ad x(y) = [x, y] = h (3.40)
Dunque la matrice cercata risulta :
ad x =
⎛
⎜
⎝
0 −2 0
0 0 1
0 0 0
Allo stesso modo procediamo per quanto riguarda ad h:
la cui matrice é :
Infine rimane ad y :
con matrice :
ad h(x) = [h, x] = 2x ; ad h(h) = [h, h] = 0 ; ad h(y) = [h, y] = −2y (3.41)
ad h =
⎛
⎜
⎝
2 0 0
0 0 0
0 0 −2
ad y(x) = [y, x] = −h ; ad y(h) = [y, h] = 2y ; ad y(y) = [y, y] = 0 (3.42)
ad y =
⎛
⎜
⎝
0 0 0
−1 0 0
0 2 0
Per trovare la matrice associata a k ora dobbiamo calcolare :
⎛
⎞
0 0 −2
⎜
⎟
k11 = tr(ad x ◦ ad x) = tr ⎜
⎝ 0 0 0 ⎟
⎠ = 0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
0 0 0