Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.3. ESEMPI DI SISTEMI DI RADICI 71
Tabella 4.4:
(, ) α β γ δ ɛ η −α −β −γ −δ ɛ η
α 2 1 1 0 -1 -1 -2 -1 -1 0 1 1
β 3 2 3 1 0 -1 -3 -2 -3 -1 0 1
γ 1 1 2 1 1 0 -1 -1 -2 -1 -1 0
δ 0 1 3 2 3 1 0 -1 -3 -2 -3 -1
ɛ -1 0 1 1 2 1 1 0 -1 -1 -2 -1
η -3 -1 0 1 3 2 3 1 0 -1 -3 -2
−α -2 -1 -1 0 1 1 2 1 1 0 -1 -1
−β -3 -2 -3 -1 0 1 3 2 3 1 0 -1
−γ -1 -1 -2 -1 -1 0 1 1 2 1 1 0
−δ 0 -1 -3 -2 -3 -1 0 1 3 2 3 1
−ɛ 1 0 -1 -1 -2 -1 -1 0 1 1 2 1
−η 3 1 0 -1 -3 -2 -3 -1 0 1 3 2
e quindi, essendo la tabella costituita da soli interi, anche la condizione R4 è verificata. Rimane
la condizione R3 per la quale dobbiamo analizzare come agiscono le riflessioni σα, σβ, σγ, σδ, σɛ, ση
sugli elementi di G2. Facciamo i calcoli per σα
• σα(β) = β − (β, α)α = β − 3α = ( 3
2l, √
3
3
2 l) − 3(l, 0) = (− 2l, √
3
2 l) = η
• σα(γ) = γ − (γ, α)α = γ − α = ( l
2 ,
√
3
l
2 l) − (l, 0) = (− 2 ,
√
3
2 l) = ɛ
• σα(δ) = δ − (δ, α)α = δ
• σα(ɛ) = ɛ − (ɛ, α)α = ɛ + α = (− l
2 ,
√
3
l
2 l) + (l, 0) = ( 2 ,
√
3
2 l) = γ
• σα(η) = η − (η, α)α = η + 3α = (− 3
2l, √
3
3
2 l) + 3(l, 0) = ( 2l, √
3
2 l) = β
poi per σβ
• σβ(α) = α − (α, β)β = α − β = (l, 0) − ( 3
2l, √ √
3 1 3
2 l) = (− 2l, − 2 l) = −γ
per σγ
• σβ(γ) = γ − (γ, β)β = γ − β = ( l
2 ,
√
3 3
2 l) − ( 2l, √
3
2 l) = (−l, 0) = −α
• σβ(δ) = δ − (δ, β)β = δ − β = (0, √ 3l) − ( 3
2l, √
3 3
2 l) = (− 2l, √
3
2 l) = η
• σβ(ɛ) = ɛ − (ɛ, β)β = ɛ
• σβ(η) = η − (η, β)β = η + β = (− 3
2l, √
3 3
2 l) + ( 2l, √
3
2 l) = (0, √ 3l) = δ
• σγ(α) = α − (α, γ)γ = α − γ = −ɛ