Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

114 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE
del vettore detto) allora esso si scrive come (ɛi − ɛi+1) + (ɛi+1 − ɛi+2) + · · · + (ɛj−1 − ɛj), ossia con
tutti i coefficienti uguali ad 1. Concludiamo studiando il diagramma di Dynkin di Φ. Prima di tutto
osserviamo che tutte le radici hanno la stessa norma (ossia radice di 2) e quindi due vertici sono legati
da un filo oppure scollegati.
Abbiamo già osservato che (ɛk − ɛh, ɛi − ɛj) =< ɛk − ɛh, ɛi − ɛj > e dunque ci basta calcolare i prodotti
scalari. Partiamo da ɛ1 − ɛ2 e moltiplichiamolo scalarmente per ɛi − ɛi+1 (con i = 1) : il prodotto
scalare vale −1 solo nel caso in cui i sia uguale a 2 in tutti gli altri casi è nullo. Prendiamo poi
ɛp − ɛp+1 e lo moltiplichiamo scalarmente per ɛi − ɛi+1 con i = p : il prodotto scalare vale −1 solo
nel caso in cui i sia uguale a p − 1, in tutti gli altri casi è nullo. Infine, dato un vettore ɛi − ɛi+1
con i diverso da 1 e p, il suo prodotto scalare per ɛj − ɛj+1 (con j = i) vale −1 solo per i = j + 1 e
per i + 1 = j, negli altri casi è nullo. Ossia il prodotto scalare vale -1 solo per ɛj − ɛj+1 = ɛi−1 − ɛi
e ɛj − ɛj+1 = ɛi+1 − ɛi+2 ossia solo per le radici semplici che lo seguono e lo precedono. Per quanto
detto risulta evidente che la matrice di Cartan di Φ è Ap e quindi pure il suo digramma di Dynkin
è il diagramma di Dynkin Ap (la matrice di Cartan determina completamente il diagramma di Dynkin).
(Bp e Cp) Sia E lo spazio euclideo R n e Φ l’insieme così definito :
Vogliamo capire se Φ è un sistema di radici di E.
Per prima cosa tentiamo di capire da quali vettori è composto.
Φ = {α ∈ I |< α, α >= 1 oppure 2} (5.29)
Consideriamo un vettore α ∈ Φ : esso è della forma p
i=1 aiɛi, con gli ai numeri interi. Se α ha norma
unitaria allora è tale da verificare la condizione :
< α, α >=
n
(ai) 2 = 1 (5.30)
Se un intero è diverso da 1 o da 0, allora il suo quadrato è maggiore o uguale a 4. Avendo una somma
di quadrati, gli (ai) 2 devono essere o nulli o uguali ad uno. Per essere più precisi uno degli (ai) 2 è
uguale ad 1, gli altri sono nulli. Quindi i vettori di Φ aventi norma unitaria sono tutti e soli quelli
della forma ±ɛi al variare di i in {1, . . . , p}.
Se α ha norma al quadrato uguale a 2 allora deve verificare la condizione :
< α, α >=
i=1
n
(ai) 2 = 2 (5.31)
Ragionando come prima deduciamo che due diversi interi, ai e aj, hanno quadrato uguale ad 1 mentre
tutti gli altri sono nulli. I vettori di Φ aventi norma uguale √ 2 sono della forma ±ɛi ± ɛj, con gli
indici i = j che variano nell’insieme {1, . . . , p} (i segni si possono scegliere in maniera indipendente).
Ovviamente i vettori della forma ±ɛi (con i = 1, 2, . . . , p) e ±ɛi ± ɛj (i = j) appartengono a Φ : sono
i=1