Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

6 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE
Se il polinomio minimo dell’endomorfismo f ha tutte le radici distinte, chiamiamo f semisemplice.
L’ultimo teorema ci dice che gli endomorfismi di uno spazio vettoriale su un campo algebricamente
chiuso sono diagonalizzabili se e solo se semisemplici.
Propisizione 1.2.5. Siano f1 ed f2 due endomorfismi diagonalizzabili di V .
• (i) f1 ed f2 sono simultaneamente diagonalizzabili (ossia esiste una base di V tale che le matrici
associate ad f1 ed f2 rispetto ad essa sono entrambe diagonali) se e solo se commutano, cioé
f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1. In particolare, ogni loro combinazione lineare é diagonalizzabile.
• (ii) Se W é un sottospazio vettoriale di V tale che f1(W ) ⊆ W , ossia W é un sottospazio
f1-invariante, allora la restrizione di f1 a W é ancora diagonalizzabile.
Proposizione 1.2.6. Se il campo F su cui é definito lo spazio vettoriale V é algebricamente chiuso,
allora, dato un endomorfismo f di V , si ha che :
(i) esistono, e sono unici, due endomorfismi fs, fn ∈ End(V ) tali che f = fs+fn, fs é diagonalizzabile,
fn é nilpotente, fs ed fn commutano ;
(ii) esistono due polinomi p(T ), q(T ) ∈ F [T ], privi di termine noto, tali che fs = p(f), fn = q(f).
In particolare fs e fn commutano con qualsiasi endomorfismo che commuta con f ;
(iii) se A ⊂ B ⊂ V sono sottospazi vettoriali e f(B) ⊂ A, allora fs e fn mandano B in A.
La decomposizione f = fs + fn prende il nome di “decomposizione (additiva) di Jordan-Chevalley
di f” o semplicemente “decomposizione di Jordan di f”. Inoltre gli endomorfismi fs, fn li chiamiamo,
rispettivamente, la parte semisemplice (o diagonalizzabile) e la parte nilpotente dell’endomorfismo f.
1.3 Matrici
Dato un campo F , denotiamo con gl(n, F ) l’insieme delle matrici quadrate di ordine n a entrate in F .
Definiamo in gl(n, F ) le usuali operazioni di somma e di prodotto per scalare.
Se A = (aij), B = (bij) sono due generiche matrici di gl(n, F ) e a ∈ F un arbitrario scalare poniamo :
• A + B = D = (dij) con dij := aij + bij
• aA = E = (eij) con eij := a aij
Prendendo le matrici A, B, C ∈ gl(n, F ) e gli scalari a, b ∈ F , mostriamo che queste operazioni
dotano gl(n, F ) della struttura di spazio vettoriale :