Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

che è ancora vietato dal passo 7.
Allora possiamo dire che se Γ contiene due vertici legati da due fili esso non può che essere della
tipologia (ii) (il ragionamento che si fa è identico ai due precedenti, soltanto che non si incontrano mai
nodi ne coppie di vertici legati da due fili, quindi ad ogni passo un vertice si collega all’ultimo vertice
di una delle catene semplici che partono da ɛ1 o da ɛ2, la coppia di vertici legati da due fili).
Se invece Γ ha che i vertici sono legati fra loro con solo un filo e non ci sono nodi, Γ non può che
essere della forma (i) (sempre lo stesso modo di ragionare, questa volta partendo da un vertice). Infine
vediamo cosa capita se Γ contiene un nodo. Siano ɛ1, ɛ2, ɛ3 e ɛ4 i punti del nodo. Prendiamo un quinto
vertice ɛ5 connesso ad uno dei vertici del nodo. Esso deve necessariamente essere connesso con un filo
ad un fra ɛ1,ɛ3 e ɛ4 (da ɛ2 partono già tre fili). Un sesto vertice collegato ad uno dei primi cinque sarà
legato con un filo o a ɛ5 o ad uno dei due vertici fra ɛ1,ɛ3 e ɛ4 al quale non abbiamo legato ɛ5. In
questo modo, ad ogni passo, aggiungiamo un vertice legato con un filo all’ultimo vertice delle catene
semplici che partono da ɛ1,ɛ3 e ɛ4. Quindi in questo caso il grafico di Γ è della forma (ii).
(9) Se il grafico connesso Γ è del tipo (ii) allora è il grafico di Coxeter F4 o il grafico di Coxeter Bp = Cp.
Dato che siamo in uno spazio euclideo, quindi uno spazio vettoriale reale, ha senso considerare le
conmbinazioni lineari
ɛ =
r
iɛi ; η =
aventi come coefficienti dei numeri interi. Per ipotesi abbiamo :
i=1
q
jηj
4(< ɛi, ɛi+1 >) 2 = 1 ⇒ 2(< ɛi, ɛi+i >) = −1 con i = 1, 2, . . . , r − 1 (5.7)
4(< ηj, ηj+1 >) 2 = 1 ⇒ 2(< ηj, ηj+i >) = −1 con j = 1, 2, . . . , q − 1 (5.8)
j=1
4(< ɛr, ηq >) 2 = 2 ⇒ (< ɛr, ηq >) 2 = 1
2
mentre tutte le altre coppie di vertici sono ortogonali (in quanto non connesse da nessun filo). Ne
consegue :
< ɛ, ɛ >=<
r
iɛi,
i=1
r
kɛk >=
k=1
r
ik < ɛi, ɛk >=
i,k=1
r
(i) 2 r−1
< ɛi, ɛi > +2 i(i + 1) < ɛi, ɛi+1 >
i
i=1
109
(5.6)
(5.9)
(5.10)
con 2 fattore moltiplicativo dell’ultima sommatoria in quanto consideriamo i casi j = i + 1 e i = j + 1
che sono uguali per la simmetria del prodotto scalare. La norma al quadrato di ɛ allora diventa :
r
(i) 2 r−1
− i(i+1) =
i
i=1
r
(i) 2 r−1
− (i 2 +i) = r 2 r−1
− i = r 2 r(r − 1)
− =
2
2r2 − r2 + r
2
i
i=1
i
= r2 + r
2
= r r + 1
2