Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.7. SISTEMI DI RADICI IRRIDUCIBILI 89
(c) Per quanto visto in (b), ci è sufficiente mostrare che ogni radice appartiene ad almeno un base di Φ.
Dato che le uniche radici proporzionali ad α sono ±α, se β è una radice diversa da ±α l’iperpiano Pβ
non coincide con Pα (altrimenti α e β insieme ad una base di Pα = Pβ dovrebbero essere indipendenti).
Dunque abbiamo che Pα∩Pβ è un sottospazio proprio di Pα, quindi al più è un suo iperpiano. L’unione
di questi sottospazi intersezione, al variare di β, non ricopre tutto Pα. Allora esiste un vettore γ
appartenente a Pα ma non contenuto in nessuno degli iperpiani Pβ, al variare delle radici β non
proporzionali ad α. Scegliamo γ ′ regolare e abbastanza vicino a γ in modo tale che < γ ′ , α >= ɛ > 0
e |< γ ′ , β >| > ɛ per ogni β.
Ne consegue che α appartiene a Φ + (γ ′ ) e non è decomponibile (ossia non la possiamo scrivere come
somma di due radici di Φ + (γ ′ )) perchè altrimenti il prodotto scalare fra γ ′ e α sarebbe maggiore di ɛ.
(d) Per dimostrare che W ′ = W ci è sufficiente dimostare, per come è definito W , che ogni riflessione
associata ad una generica radice α appartiene a W ′ . Usando i punti b e c, troviamo σ ∈ W ′ tale che
σ(α) = β è una radice semplice. Allora, per la Proposizione 4.2.2, abbiamo :
e dunque σα appartiene a W ′ .
σβ = σ σ(α) = σ ◦ σα ◦ σ −1
⇒ σα = σ −1 ◦ σβ ◦ σ
(e) Supponiamo che l’automorfismo σ ∈ W mandi ∆ in se stessa ma sia diverso dall’identità e che σ
si esprima come composizione di riflessioni associate a radici semplici nel modo seguente :
σ = σ1 ◦ · · · ◦ σt
dove t è il più piccolo possibile. Ma allora σ(αt) sarebbe una radice positiva (in quanto semplice) in
contraddizione con il Corollario 4.6.4. Dunque si deve avere σ = idE. Questo implica che l’azione di
W sulle basi sia semplicemente transitiva : se σ1 e σ2 mandano entrambe la base ∆ ′ nella base ∆ ′′
allora σ −1
1 ◦ σ2 manda ∆ ′ in se. Dunque σ −1
1 ◦ σ2 ossia σ1 = σ2.
4.7 Sistemi di radici irriducibili
Sia Φ un sistema di radici in uno spazio euclideo E. Diremo che Φ è irriducibile se non può essere
scomposto nell’unione di due sottoinsiemi propri e disgiunti, Φ1 e Φ2, tali che ogni radice di Φ1 è
ortogonale a tutte le radici di Φ2.
Supponiamo che ∆ sia una base di Φ. Mostriamo che Φ è irriducibile se e solo se ∆ non può essere
partizionato in due sottoinsiemi, ∆1 e ∆2, non vuoti, disgiunti e tali che ogni radice semplice di ∆1 è
ortogonale a tutte quelle di ∆2.
Cominciamo col supporre Φ = Φ1 ∪ Φ2 con < Φ1, Φ2 >= 0. A meno che ∆ non sia completamente
contenuto in uno fra Φ1 e Φ2, la partizione su Φ induce una partizione analoga su ∆.
Se ∆ ⊂ Φ1 abbiamo < ∆, Φ2 >= 0 e di conseguenza < E, Φ2 >= 0, in quanto ∆ è una base di E.