Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

estendere a Γ la definizione di grafico connesso.
Prendiamo un sistema di radici Φ ⊂ E e ne scegliamo una base ∆ = {α1, . . . , αp}. Dividiamo ogni
radice semplice per la sua norma ottenendo un nuovo sottoinsieme ∆ ′ di E. Se α1, . . . , αp sono
indipendenti, continuano ad esserlo se sostituiamo ognuno di essi con un multiplo non nullo, dunque
∆ ′ è un insieme di vettori indipendenti ed unitari. Il prodotto scalare fra due suoi elementi
< αi αi
,
αj αj >=
103
1
αi · αj (< αi, αj >) ≤ 0 (5.1)
è non positivo poichè il fattore a sinistra è positivo mentre quello a destra è non positivo per il lemma
4.5.1.
Inoltre, se i = j e θ è l’angolo compreso fra αi e αj, abbiamo :
4 < αi αi
,
αj αj >2 1
= 4
αi 2 · αj 2 (< αi, αj > 2 ) = 4 αi 2 · αj 2 αi 2 · αj 2 (cos2 θ) = (αi, αj)(αj, αi)
ossia 4 < αi αi
αj , αj >2 appartiene a {0, 1, 2, 3}.
Ciò significa che ∆ ′ è un sottoinsieme ammissibile di E ed inoltre il grafico Γ di ∆ ′ coincide col grafico
di Coxeter di Φ.
Vogliamo ora classificare tutti i possibili grafici Γ connessi e, lo sottolineiamo, questi grafici contengono
tutti i possibili grafici di Coxeter. La classificazione dei grafici Γ ci dice come possono essere i grafici
di Coxeter ma non tutti i grafici Γ (per ora!) sono grafici di Coxeter.
Da questo momento procediamo per passi, con l’ipotesi che il grafico Γ sia connesso.
(1) Se da U togliamo alcuni vettori, i rimanenti formano ancora un un sottoinsieme ammissibile (viene
conservata l’indipendenza ed ovviamente anche le due condizioni sui prodotti scalari). Il grafico Γ di
quanto rimane si ottiene eliminando i vertici dei vettori che sono stati scartati, compresi i fili da essi
uscenti. (2) Dimostriamo che il numero di coppie di vertici fra loro connessi da almeno un filo nel
grafico Γ, è inferiore ad n. Consideriamo il vettore :
ɛ =
n
i=1
Dato che i vettori ɛi sono linearmente indipendenti è ovvio che ɛ è non nullo (tutti i coefficienti della
combinazione lineare sono uguali ad 1). Essendo il prodotto scalare definito positivo abbiamo che
< ɛ, ɛ > è positivo :
< ɛ, ɛ >=<
n
ɛi,
i=1
n
j=1
ɛj >=
n
i,j=1
< ɛi, ɛj >=
ɛi
(5.2)
n
< ɛk, ɛk > +
2 < ɛi, ɛj >= n + 2
< ɛi, ɛj >
k=1
La scomposizione della sommatoria è dovuta al fatto che, se per < ɛi, ɛj > si ha i = j, allora o i è
minore di j oppure viceversa. Se i < j l’addendo è compreso nella seconda sommatoria, se i > j allora
< ɛi, ɛj >=< ɛj, ɛi > e quindi ci basta moltiplicare ogni addendo per 2.
i