Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.4. COPPIE DI RADICI 73
banalmente in componenti rispetto ai vettori di base.
Per l’insieme A2 fissiamo la base {α, γ}. Vogliamo capire come si scrivere β : dato che α = (l, 0),
γ = (− l
2 ,
√
3
l
2 l) e β = ( 2 ,
vettori −α, −β, −γ.
√
3
2 l) è ovvio che si ha α + γ = β. Sappiamo quindi come scrivere anche i
In B2 prendiamo la base {α, δ}. Ricordiamo che α = (l, 0), δ = (−l, l), β = (l, l) e γ = (0, l) Dunque
abbiamo α + δ = γ e β = 2α + δ.
Infine, nell’ insieme G2 consideriamo la base {α, η}. Ricordiamo la forma di G2:
G2 = {α = (l, 0), β = ( 3
2 l,
√
3 l
l), γ = (
2 2 ,
√
3
2 l), δ = (0, √ 3l), ɛ = (− l
2 ,
√
3
l), η = (−3
2 2 l,
√
3
l)} ∪
2
∪ {−α, −β, γ, −δ, −ɛ, −η}
pertanto abbiamo β = 3α + η, γ = 2α + η, δ = 3α + 2η, ɛ = α + η.
Possiamo allora fare l’importante osservazione che rispetto all basi fissate nei singoli casi, le radici
si scrivono sempre come combinazione lineare degli elementi della base, con coefficienti interi tutti non
negativi o tutti non positivi.
4.4 Coppie di radici
Sia Φ un sistema di radici nello spazio euclideo e E.
Date due radici α, β ∈ Φ, se denotiamo con θ l’angolo fra essi compreso, abbiamo :
< β, α > β α cos(θ)
(β, α) = 2 = 2
< α, α > α 2 < β, α > β α cos(θ)
(α, β) = 2 = 2
< β, β > β 2 Pertanto il prodotto di queste due quantità diventa :
β
= 2 cos(θ) (4.41)
α
α
= 2 cos(θ) (4.42)
β
β α
(β, α)(α, β) = 4 cos(θ)
α β cos(θ) = 4cos2 (θ) (4.43)
Per ipotesi, entrambi i fattori sono interi e dunque anche il loro prodotto lo è. Ne segue che cos 2 (θ)
deve essere il rapporto di un intero (ovviamente positivo) e 4. Dato che cos 2 (θ) ∈ [0, 1] si possono
avere solo le seguenti possibilità:
• i) cos2 (θ) = 0
4 = 0
• ii) cos 2 (θ) = 1
4
• iii) cos2 (θ) = 2 1
4 = 2