Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

82 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
in quanto combinazione lineare, con coefficienti positivi, di quantità non positive.
Dato che il prodotto scalare è definito positivo ne deduciamo < ɛ, ɛ >= 0 e quindi ɛ = 0. Pertanto :
0 = < ɛ, γ > =
sα < α, γ > (4.77)
Gli sα sono positivi ma potrebbero non esistere, i prodotti scalari < γ, α > sono positivi. Allora non
esistono sα altrimenti quel prodotto scalare non potrebbe essere nullo in quanto avremmo una somma
di quantità positive. In modo analogo si dimostra che non esistono tβ e dunque la combinazione lineare
da cui siamo partiti ha tutti i coefficienti nulli.
(4) Siamo ora in grado di concludere che ∆(γ) è una base di Φ. Infatti ∆(γ) genera Φ + (γ) e quindi
Φ, per cui ∆(γ) genera E (poichè genera un sistema di generatori). Per il punto (3) ∆(γ) è una base
di E, mentre per il punto 1 esso è una base di Φ.
(5) Concludiamo mostrando che ogni base ∆ di Φ è uguale ad una ∆(γ) per un certo vettore regolare
γ ∈ E. Data una base ∆ di Φ, scegliamo un elemento γ tale che < γ, α > > 0 per ogni radice semplice
α.
L’esistenza di elementi di questo tipo è assicurata dal Lemma 4.5.3. Per la condizione B2, l’elemento
scelto è regolare, in quanto il prodotto scalare di γ con una qualsiasi radice è una combinazione lineare,
con coefficienti tutti non negativi o tutti non positivi, di quantità postive.
Ne consegue che Φ + = Φ + (γ) : se α ∈ Φ + allora è ovvio che α ∈ Φ + poichè < γ, α > è una
combinazione lineare con coefficienti non negativi di quantità positive ; viceversa, se < γ, α > è
positivo, dato che tutti coefficienti di α rispetto alla base ∆ devono avere lo stesso segno, essi devono
essere necessariamente non negativi.
Quindi abbiamo anche Φ − = −Φ + = −Φ + (γ) = Φ − (γ).
Per come abbiamo scelto γ è evidente che ∆ ⊂ Φ + (γ). Inoltre ∆ ⊂ ∆(γ) in quanto gli elementi di
∆ non posso essere decomponibili. Sia αj una radice semplice e supponiamo sia decomponibile, ossia
αj = β1 + β2 con β1, β2 radici di Φ + (γ). Allora possiamo avere tre possibilità. La prima è che β1
e β2 sono semplici (e sicuramente diverse da αj altrimenti una delle due dovrebbe essere nulla), ma
questo è un assurdo per l’indipendenza dei vettori di base. La seconda possibilità è che β1 sia semplice
(quindi β1 = αi) e β2 no (o viceversa). Quindi β2 è una radice positiva che rispetto a ∆ si scrive
β2 = a1α1 + · · · + anαn. Pertanto si ha :
αj = β1 + β2 = a1α1 + · · · + (1 + ai)αi + · · · + anαn
α
(4.78)
Se αi = αj allora ak = 0 per k = 1, . . . , n, il che è un assurdo in quanto β2 è non nullo ; in caso
contrario si ha aj = 1 e tutti gli altri coefficienti nulli con l’assurdo che (1 + ai) non può essere 0 in
quanto ai è non negativo. Infine possiamo avere β1 e β2 entrambe non semplici e quindi :
αj = β1 + β2 = a1α1 + · · · + anαn + b1α1 + · · · + bnαn = (a1 + b1)α1 + · · · + (an + bn)αn