Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

92 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Proposizione 4.8.1. Siano E, E ′ due spazi euclidei di dimensione l, con Φ sistema di radici in E
e Φ ′ sistema di radici in E ′ . Supponiamo di avere fissato la base ∆ = {α1, ..., αl} di Φ e la base
∆ ′ = {α ′ 1 , ..., α′ l } di Φ′ . Se (αi, αj) = (α ′ i , α′ j ) per ogni i, j ∈ {1, ..., l}, allora la bigezione αi ↦→ α ′ i
estesa ad E ed E ′ determina un isomorfismo φ : E → E ′ tale che φ(Φ) = Φ ′ e (φ(α), φ(β) = (α, β)
per ogni coppia di radici α, β di Φ.
Quindi la matrice di Cartan di Φ determina Φ a meno di isomorfismi.
4.9 Grafico di Coxeter e diagrammi di Dynkin
Sia E uno spazio euclideo e Φ un suo sistema di radici.
Se α e β sono radici distinte e non proporzionali di Φ, abbiamo visto che il prodotto (α, β)(β, α) è
positivo e può valere 0, 1, 2 oppure 3. Fissata una base ∆ di Φ, il grafico di Coxeter di Φ è un
diagramma avente tanti vertici quanti sono gli elementi della base (ossia il numero dei vertici coincide
con la dimensione di E), con l’i-esimo vertice congiunto con il j-esimo (ovviamente stiamo considerando
i = j), da (αi, αj)(αj, αi) fili.
Se fissiamo un’altra base ∆ ′ sappiamo che esiste un unico automorfismo σ ∈ W che manda ∆ in ∆ ′ ed
inoltre (αi, αj)(αi, αj) = (σ(αi), σ(αj)(σ(αj), σ(αi) per cui il grafico di Coxeter (a patto di considerare
su ∆ ′ l’ordine indotto da quello fissato in ∆) rimane invariato.
Come esempi consideriamo i sistemi di radici, in uno spazio euclideo E bidimensionale, visti nel
paragrafo 4.3 per i quali consideriamo sempre con le stesse basi. Allora per A1 × A1 i vettori di base
sono α e β, con (α, β) = (β, α) = 0 per cui il grafico di Coxeter risulta :
La base di A2 è costituita dai vettori α, γ. Sappiamo che (α, γ)(γ, α) = (−1)(−1) = 1 e dunque in
questo caso il grafico di Coxeter è :
Per B2 avevamo scelto la base {α, δ} ed inoltre (α, δ)(δ, α) = (−1)(−2) = 2. Perciò abbiamo il
seguente grafico di Coxeter :
G2 è :
Infine per G2 i vettori di base sono α e η con (α, η)(η, α) = (−1)(−3) = 3. Il grafico di Coxeter di