28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
Capitolo 3 <strong>Algebre</strong> <strong>di</strong> <strong>Lie</strong> <strong>semisemplici</strong> In questo capitolo, a meno <strong>di</strong> in<strong>di</strong>cazioni contrarie, con F denoteremo un campo <strong>di</strong> caratteristica zero ed algebricamente chiuso, ossia ogni polinomio in una variabile a coefficienti in F ha tutte le sue ra<strong>di</strong>ci contenute in F . 3.1 Rappresentazione aggiunta Definizione 3.1.1. Sia L un’algebra <strong>di</strong> <strong>Lie</strong> su un campo F . Una rappresentazione <strong>di</strong> L é un omomorfismo <strong>di</strong> algebre <strong>di</strong> <strong>Lie</strong> : dove V è un F -spazio vettoriale <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione finita. φ : L → gl(V ) (3.1) L’esempio classico <strong>di</strong> rappresentazione <strong>di</strong> un’algebra <strong>di</strong> <strong>Lie</strong> L è la rappresentazione aggiunta : ad : L → End(L) x ↦→ ad(x) = ad x con ad x che ad un generico vettore v ∈ L associa [x, v]. Dalla bilinearitá del commutatore segue facilmente che le immagini dell’applicazione sono endomorfismi <strong>di</strong> L. Verifichiamo inoltre che ad é un omomorfismo <strong>di</strong> algebre <strong>di</strong> <strong>Lie</strong>, ossia é un’applicazione lineare che conserva il commutatore. Per ogni x, y, v ∈ L e a, b ∈ F abbiamo : (ad(ax+by))(v) = [ax+by, v] = a[x, v]+b[y, v] = (a·ad x)(v)+(b·ad y)(v) = (a·ad x+b·ad y)(v) (3.2) [ad x, ad y](v) = ad x(ad y(v)) − ad y(ad x(v)) = ad x([y, v]) − ad y([x, v]) = (3.3) [x, [y, v]] − [y, [x, v]] = [x, [y, v]] + [[x, v], y] = [[x, y], v] = ad [x, y](v) Osserviamo che nella seconda relazione si è fatto uso dell’identità <strong>di</strong> Jacobi, ossia : [x, [y, v]] + [y, [v, x]] + [v, [x, y]] = 0 ⇒ [x, [y, v]] + [[x, v], y] = [[x, y], v] (3.4) 29