Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

More documents

Recommendations

Info

82 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI in quanto combinazione lineare, con coefficienti positivi, di quantità non positive. Dato che il prodotto scalare è definito positivo ne deduciamo < ɛ, ɛ >= 0 e quindi ɛ = 0. Pertanto : 0 = < ɛ, γ > = sα < α, γ > (4.77) Gli sα sono positivi ma potrebbero non esistere, i prodotti scalari < γ, α > sono positivi. Allora non esistono sα altrimenti quel prodotto scalare non potrebbe essere nullo in quanto avremmo una somma di quantità positive. In modo analogo si dimostra che non esistono tβ e dunque la combinazione lineare da cui siamo partiti ha tutti i coefficienti nulli. (4) Siamo ora in grado di concludere che ∆(γ) è una base di Φ. Infatti ∆(γ) genera Φ + (γ) e quindi Φ, per cui ∆(γ) genera E (poichè genera un sistema di generatori). Per il punto (3) ∆(γ) è una base di E, mentre per il punto 1 esso è una base di Φ. (5) Concludiamo mostrando che ogni base ∆ di Φ è uguale ad una ∆(γ) per un certo vettore regolare γ ∈ E. Data una base ∆ di Φ, scegliamo un elemento γ tale che < γ, α > > 0 per ogni radice semplice α. L’esistenza di elementi di questo tipo è assicurata dal Lemma 4.5.3. Per la condizione B2, l’elemento scelto è regolare, in quanto il prodotto scalare di γ con una qualsiasi radice è una combinazione lineare, con coefficienti tutti non negativi o tutti non positivi, di quantità postive. Ne consegue che Φ + = Φ + (γ) : se α ∈ Φ + allora è ovvio che α ∈ Φ + poichè < γ, α > è una combinazione lineare con coefficienti non negativi di quantità positive ; viceversa, se < γ, α > è positivo, dato che tutti coefficienti di α rispetto alla base ∆ devono avere lo stesso segno, essi devono essere necessariamente non negativi. Quindi abbiamo anche Φ − = −Φ + = −Φ + (γ) = Φ − (γ). Per come abbiamo scelto γ è evidente che ∆ ⊂ Φ + (γ). Inoltre ∆ ⊂ ∆(γ) in quanto gli elementi di ∆ non posso essere decomponibili. Sia αj una radice semplice e supponiamo sia decomponibile, ossia αj = β1 + β2 con β1, β2 radici di Φ + (γ). Allora possiamo avere tre possibilità. La prima è che β1 e β2 sono semplici (e sicuramente diverse da αj altrimenti una delle due dovrebbe essere nulla), ma questo è un assurdo per l’indipendenza dei vettori di base. La seconda possibilità è che β1 sia semplice (quindi β1 = αi) e β2 no (o viceversa). Quindi β2 è una radice positiva che rispetto a ∆ si scrive β2 = a1α1 + · · · + anαn. Pertanto si ha : αj = β1 + β2 = a1α1 + · · · + (1 + ai)αi + · · · + anαn α (4.78) Se αi = αj allora ak = 0 per k = 1, . . . , n, il che è un assurdo in quanto β2 è non nullo ; in caso contrario si ha aj = 1 e tutti gli altri coefficienti nulli con l’assurdo che (1 + ai) non può essere 0 in quanto ai è non negativo. Infine possiamo avere β1 e β2 entrambe non semplici e quindi : αj = β1 + β2 = a1α1 + · · · + anαn + b1α1 + · · · + bnαn = (a1 + b1)α1 + · · · + (an + bn)αn
4.5. BASI DI SISTEMI DI RADICI 83 Per cui se i = j abbiamo ai + bi = 0 ossia ai = bi = 0, mentre aj + bj = 1. Ma in questo modo αj cesserebbe di essere decomponibile (quando parliamo di radice decomponibile non consideriamo la possibilità di scriverla come somma di suoi multipli, altrimenti tutte le radici sono decomponibili). Accertateci del fatto che le radici semplici non sono decomponibili, osserviamo che ∆ e ∆(γ) hanno la stessa cardinalità dato che sono entrambe basi di E e perciò ∆(γ) = ∆. Se Φ è un sistema di radici nello spazio euclideo E, abbiamo detto che l’unione degli iperpiani Pα, al variare di α in Φ, non ricopre tutto E. Negli spazi euclidei è possibile definire una topologia mediante il prodotto scalare, dunque ha senso considerare E \ ∪Pα come spazio topologico. Le componenti connesse di E \ ∪Pα prendono il nome di camere di Weyl di E. Ne consegue che ogni vettore regolare γ ∈ E appartiene ad un unica camera di Weyl, che denotiamo col simbolo Υ(γ). Nell’insieme degli elementi regolari possiamo definire una relazione di equivalenza : due elementi regolari, γ e γ ′ , sono equivalenti se Φ + (γ) = Φ + (γ ′ ). Sicuramente questa relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva. Attraverso questa relazione di equivalenza determiniamo una partizione di E \ ∪Pα. Si può allora dimostrare che due vettori regolari γ, γ ′ appartengno la stessa camera di Weyl se e solo se sono equivalenti, ossia Φ + (γ) = Φ + (γ ′ ). Ciò è dovuto al fatto che le componenti connesse sono anche convesse. Quindi γ e γ ′ stanno nella stessa camera di Weyl se e solo se tγ + (1 − t)γ ′ non appartiene a nessuno degli iperpiani Pα, al variare di t in [0, 1]. Le componenti connesse per archi coincidono con le componenti connesse per cui : t < α, γ > +(1 − t) < α, γ ′ >> 0 (4.79) per ogni valore di t (in quanto al variare di t abbiamo un’applicazione continua che non può cambiare segno, possiamo supporre che l’ultima quantità sia negativa oppure positiva). Dunque ponendo t = 1 e t = 0 otteniamo, rispettivamente, < α, γ >> 0 e < α, γ ′ >> 0. Ciò significa che se due elementi regolari stanno nella stessa componente connessa allora il loro prodotto scalare per una generica radice ha lo stesso segno e viceversa. Se Φ + (γ) = Φ + (γ ′ ) allora ∆(γ) = ∆(γ ′ ) (segue banalmente da come si sono definite le radici decomponibili e non decomponibili). Vale anche l’implicazione inversa dato che ogni radice di Φ + (γ) si scrive come combinazione lineare dei vettori di ∆(γ) con coefficienti non negativi, quindi appartiene a Φ + (γ ′ ), e viceversa. Prendiamo una camera di Weyl e, fissato un suo elemento γ, associamogli una base ∆(γ) che non dipende dalla scelta di γ (perchè ogni radice della camera di Weyl scelta determina la stessa polarizzazione ; ad ogni polarizzazione corrisponde una decomposizione univoca in radici decomponibili e non). Ad una base possiamo associare un elemento regolare σ (vedi passo 5 della dimostrazione del Teorema 4.5.4) e considerarne la camera di Weyl. Se alla base associamo due diversi elementi regolari, σ e σ ′ , dato che si ha Φ + = Φ + (γ) = Φ + (σ) = Φ + (σ ′ ), allora essi appartengono in ogni caso alla stessa
Page 1:
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
Page 4 and 5:
ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
Page 6 and 7:
iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
Page 8 and 9:
2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
18 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE (L2),
Page 26 and 27:
20 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Inolt
Page 28 and 29:
22 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Defin
Page 30 and 31:
24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE f : L
Page 32 and 33:
26 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE massi
Page 34 and 35:
28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
Page 36 and 37:
30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
Page 38 and 39: 32 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
Page 64 and 65: 58 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 68 and 69: 62 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI qu
Page 70 and 71: 64 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Page 72 and 73: 66 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI 4.
Page 74 and 75: 68 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI L
Page 76 and 77: 70 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI po
Page 82 and 83: 76 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Ta
Page 86 and 87: 80 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ap
Page 90 and 91: 84 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ca
Page 92 and 93: 86 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI la
Page 94 and 95: 88 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Te
Page 96 and 97: 90 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Qu
Page 98 and 99: 92 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Pr
Page 102 and 103: 96 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ch
Page 106 and 107: 100 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFI
Page 128: 122 BIBLIOGRAFIA
show all

Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?