Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

ii INTRODUZIONE
le algebre di Lie risolubili, nilpotenti e semisemplici ;
- il capitolo 3 comincia con una caratterizzazione delle Algebre di Lie nilpotenti (Teorema di Engel),
prosegue con la rappresentazione aggiunta, la forma di Killing e gli L-moduli, per poi concludersi con
la decomposizione di Cartan delle algebre di Lie semisemplici. Quest’ultima parte, pur valendo su
ogni campo F algebricamente chiuso e con caratteristica nulla, si é scelto di studiarla, per semplificare
la trattazione, lavorando sul campo dei complessi.
Fissando una sottoalgebra toroidale massimale, possiamo associare ad un’algebra di Lie semisemplice
un sistema di radici. Nonostante non sia stato oggetto di questa tesi, é importante sottolineare che la
scelta della sottoalgebra toroidale massimale non é essenziale per la costruzione del sistema di radici ;
- la conclusione del capitolo precedente ci conduce agli argomenti del capitolo 4 : si parte dalla
definizione di sistema di radice per arrivare, attraverso le basi dei sistemi di radici, alla caratteriz-
zazione dei sistemi di radici, a meno di isomorfismi, mediante le matrici di Cartan e i diagrammi di
Dynkin ;
- nel capitolo conclusivo, il quinto, dimostriamo l’importante teorema di classificazione dei diagrammi
di Dynkin connessi.
Nonostante un appassionato lavoro, non si esclude che, sparse nel corpo del testo, possano essere
presenti errori e mancanze. Chiedo venia di eventuali imperfezioni ed ingenuitá, ricordando lo spirito
con cui questa tesi é stata scritta : avere un primo assaggio della teoria delle Algebre di Lie.